Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

240

Требуется определить момент M, если P = Q = 0,5 Н, а = 1 м.

Решение

Так как связи идеальные и удерживающие, то применяем принцип возможных перемещений

n

∑δAkА = 0.

k =1

Сообщаем точкам системы возможные перемещения. Так как все связи стационарные (склерономные), то возможные перемещения δrk удовлетворяют тем же условиям, что и скорости Vk .

Звенья OA и O1D могут совершать вращательные движения, звенья ABD и BC – плоскопараллельное, а ползун C - поступательное.

Сообщим звену OA бесконечно малый поворот под углом δϕ,

тогда перемещение δrA будет перпендикулярно звену OA, пере-

мещение δrD - перпендикулярно O1D, перемещение δrC - параллельно направляющей плоскости ползуна.

Строим мгновенный центр поворотов звеньев ABD, BC. Запишем сумму работ момента M и сил P, Q на собственных

возможных перемещениях:

−Mδϕ −Pδr

cos60D +Qδr cos30D = 0.

(4)

B

C

Определим все возможные перемещения через δϕ.

δr

A

= aδϕ;

δr

A

= δr

cos60D;

δr cos60D

= δr

cos30D.

B

C

B

Тогда δr =

aδϕ

;

δr

= aδϕcos30D .

B

cos 60D

C

(cos60D )2

Полученные перемещения подставим в (4), тогда будем иметь:

	cos 60D	cos30D		2
−Mδϕ −Paδϕ		+Qaδϕ			= 0.
	cos 60D
		cos 60D

241

Таблица 15

Заданная схема опоры			Эквивалентно – расчетная
				схема

Плоская жесткая заделка

Неподвижный цилиндрический шарнир

242

При δϕ ≠ 0 , окончательно получим

M = (3Q − P)a = (3 0,5 − 0,5) 1=1Нм.

Ответ: M =1Нм.

Пример решения задачи Д. 5.2

Задана плоская (рис. 156) неподвижная конструкция, которая состоит из двух тел 1 и 2, соединенных между собой шарниром C. На раму 1 действует сосредоточенная сила P1 = 10 кН и равномерно распределенная нагрузка q = 2 кН/м, а на балку 2 – пара сил с моментом M = 6 кНм и сосредоточенная сила P2 = 8 кН.

Определить реакции опор A и B, если a = 2 м.

Рис. 156

Решение

1. Определение момента пары в заделке A (MA).

Вместо заданной жесткой заделки A показываем эквивалентнорасчетную схему (неподвижный цилиндрический шарнир A и момент MA) (рис. 157). Тогда вся конструкция становится механизмом. Рама 1 может вращаться вокруг шарнира A, поэтому эта точка и будет (МЦП)1 для рамы. Точку A соединяем с точкой C и показываем возможное ее перемещение δrC AC . При этом

δrC = AC δϕ1, где δϕ1 - возможный угол поворота рамы 1.

243

Определим МЦП для балки 2. Опора B позволяет точке B перемещаться по горизонтали - δrB . К векторам δrC и δrB восстанавливаем перпендикуляры. Их пересечение дает точку D – (МЦП)2 балки 2, а δϕ2 - возможный угол поворота.

Рис. 157

Составим уравнение работ (3) моментов сил относительно соответствующих МЦП.

	M δϕ +Q								1 aδϕ −P a cos30o δϕ −P a sin30o δϕ +
			A			1			2	1		1	1	1		1
	+Mδϕ						− P		1 aδϕ			= 0.				(5)
						2		2 2			2
Для рамы 1							δrC = AC δϕ1;						для балки 2	δrC =CD δϕ2 .
Тогда	δϕ	2		= AC				δϕ . Так как AC					= KC = 2a = 2, то δϕ		2	= 2δϕ .
					CD				1			CD	CB a			1
При δϕ1 ≠ 0 уравнение (5) запишем в виде:
	M		A	+ 1Qa −P a(cos30o + sin30o ) + 2M −P a = 0.
					2				1					2

Из него, при Q = qa = 2 2 = 4 кН, находим

MA = P1a(cos30o + sin30o ) + P2a – 1/2Qa – 2M =

=10 2(0,866 + 0,5) + 8 2 – 1/2 4 2 - 2 6 = 27,32 кНм.

244

Итак, MA = 27,32кНм.

2. Определение вертикальной составляющей реакции в задел-

ке A (YA ).

Теперь точку A представим в виде ползуна, который может вместе с рамой 1 перемещаться поступательно по вертикали в своих направляющих (рис. 158). К ползуну прикладываем силу YA . Тогда вся конструкция становится механизмом.

Рис. 158

При поступательном перемещении рамы 1 возможные перемещения точек E, A и C равны, т.е. δrE = δrA = δrC . (МЦП)2 балки 2 бу-

дет находиться на опоре B, поэтому δϕ2 = δarC . Запишем уравне-

ние работ

−P1δrE cos60o +YAδrA − Mδϕ2 + P2 21 aδϕ2 = 0 .

Все возможные перемещения точек выразим через δrC

−P1δrC cos60o +YAδrC − M δarC + 21 P2a δarC = 0 .

При δrC ≠ 0 , определим YA

245

YA = Ma + P1 cos60o − 21 P2 = 62 +10 0,5 − 21 8 = 4 кН.

Итак, YA = 4 кН.

3. Определение горизонтальной составляющей реакции в задел-

ке A ( XA ) .

Вместо заделки в точке A показываем ползун (рис. 159), который может перемещаться поступательно вместе с рамой 1 в своих направляющих. К ползуну прикладываем силу XA , теперь вся конструкция становится механизмом.

Рис. 159

При поступательном перемещении рамы 1 балка 2 тоже будет перемещаться поступательно, опора B это допускает.

Составляем уравнение работ всех сил

		−Pδr cos30o +Qδr	A	+ X δr	A	= 0.
		1 E		A
При δrE = δrA ≠ 0 находим XA
X	A	= P cos30o −Q =10 0,866 − 4 = 4,66 кН.
		1

Итак, XA = 4,66 кН .

246

4. Определение реакции в опоре B (RB ).

Опора B – подвижный цилиндрический шарнир. Мысленно убираем опору B и показываем вектор реакции RB , который будет перпендикулярен к балке 2. Теперь рама 1 неподвижна, а балка 2 может вращаться относительно шарнира точки C (рис. 160).

Рис. 160

Точка C будет (МЦП)2 балки 2, δϕ2 - возможный угол поворота. Составим уравнение работ моментов сил относительно (МЦП)2:

−Mδϕ2 −RBaδϕ2 + P2 32 aδϕ2 = 0 .

При δϕ2 ≠ 0, определяем								RB :
R	=	3 P −	M	=	3	8 −	6	= 9 кН.	Итак, R = 9 кН.
B		2 2	a		2		2			B

Все реакции в опорах конструкции найдены.

5. Проверка правильности полученных результатов. Изображаем всю конструкцию и показываем действующие (за-

данные) силы и реакции опор (рис. 161).

Для проверки используем уравнения статики. Если все реакции опор найдены верно, то применяя уравнения статики должны получить тождество (0 ≡ 0).

247

Рис. 161

∑Fkx = 0;

X

A

+Q − P cos30o

= 0 ; 4,66 + 4 −10 0,866 = 0;

0 ≡ 0.

1

∑Fky = 0 ;

Y −P cos60o

+ R

−P = 0;

4 −10 0,5 + 9 −8 = 0 ;

0 ≡ 0.

A

1

B

2

∑MC (Fk ) = 0 ;

P cos60o 3a +Q 1 a + X

A

a −M

A

−Y 2a + M + R a −

1

2

A

B

−P2 1,5a = 0;

10 0,5 3 2 + 4 0,5 2 + 4,66 2 − 27,32 − 4 2 2 + 6 + 9 2 −8 1,5 2 = 0 ;

67,32 − 67,32 = 0;	0 ≡ 0.
Все реакции найдены верно.
Ответ: MA = 27,32	кНм; XA = 4,66 кН; YA = 4 кН; RB = 9 кН.

248

Задача Д.6. Общее уравнение динамики

На рис. 163 – 165 показаны механические системы с одной степенью свободы, которые состоят из твердых тел, соединенных невесомыми и нерастяжимыми нитями.

Заданы следующие параметры: m1 ,m2 ,m3 ,m4 - массы соот-

ветствующих тел; F - активная сила, приложенная к телу 1; r2,R2,r3 - радиусы колес (R2 - наибольший радиус колеса 2); ρ2 -

радиус инерции тела 2; f - коэффициент трения скольжения тела 1;k - коэффициент трения качения тел; α, β, γ - углы наклона

плоскостей к горизонту и силы F к опорной поверхности тела 1. Каток считать однородным цилиндром.

Используя общее уравнение динамики, определить ускорение тела 1 (a1).

1. Принцип Даламбера1

1.1 Материальная точка

Рассмотрим (рис. 162) несвободное движение точки по заданной траектории в произвольный момент времени.

			Рис. 162
Запишем для точки M основное уравнение динамики:
	m	a
			= F		+ N ;				(1)

1 Даламбер Жан Лерон (16.9.1717 – 29.10.1783). Французский математик, ме-

ханик, философ, член французской АН с 1754 г. Исследования относятся к ме-

ханике, гидродинамике, математике.

249

Рис. 163