Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

110

Тогда ∆Ao A1A2 ~∆Ao Ao′Ao′′, откуда можно записать пропорцию

S = Ao A1 . h Ao Ao′

	S	= r ϕ	и S =	h	ϕ .	(5)
	h			2π
		2πr

Поступательное перемещение винта прямо пропорционально углу его поворота.

Формула (5) будет справедлива для скорости V и ускорения a поступательного перемещения винта.

	v =	h	ω,	a =	h	ε .	(6)
		2π			2π

Пример решения задачи

На рис. 78 показан передаточный механизм, который состоит из винтовой пары 1, клина 2, зубчатой рейки 3, двухступенчатого колеса 4 и ременной передачи со шкивами 5 и 6.

Рис. 78

111

Заданы следующие параметры: R = 0,4 м – длина рукоятки винта; V = 0,6t (м/с) – изменение скорости точки A конца рукоятки; SA = 1,2 м – пройденный путь точкой A по дуге окружности радиуса R; h = 0,04 м – шаг винта; a = 70О – угол наклона плоскости клина 2 к горизонту; r4 = 0,6 м; R4 = 0,8 м; r6 = 0,8 м – радиусы колес.

На рис. 78 зубчатая рейка 3 находится в зацеплении с двухступенчатым колесом 4.

Определить скорость и ускорение точки M в конце пройденного пути SA, если SA(0) = 0; VA(0) = 0.

Решение

Определим время t, за которое точка A пройдет по дуге окружности радиуса R путь SA.

В естественном способе задания движения точки v = dSdt = 0,6t .

Разделяя переменные, получим ∫dS =0,6∫tdt +C1.

Окончательно S = 0,3t2 +C1. При SA (0) = 0, C1 = 0 и S = 0,3t2 . Пройденный путь SA = S(τ) −S(0) = 0,3t2 .

Тогда τ =		SA	=	1,2	= 2с.
	0,3			0,3
Скорость	v(τ) = 0,6τ = 0,6 2 =1,2м/ с.
Угловая скорость винта ω =						v(τ)		=	1,2	= 3с−1.
					1		R	0,4

По формуле (6) вычисляем поступательную скорость винта, которая будет равна скорости клина 2.

v		= v		=	h	ω = 0,04			3 0,02м/ с.
					2π
	1		2			1	2π
В точке контакта клина 2 с рейкой 3								v3	= tgα , откуда v3 = v2 tgα .
								v2

	112
При α = 70o	v3 = 0,02 tg70o 0,055м/ с.

Скорость v3 является окружной скоростью для большого колеса 4.

Поэтому v3 = ω4R4 , откуда ω4 = v3 = 0,055 0,07с−1.

R4 0,8

Запишем пропорцию ω5 = r4 , откуда

ω4 r5

ω =

r4

ω

4

=

0,6

0,07 = 0,035с−1.

5

r5

1,2

ω6

=

r5

,

ω =

r5

ω =

1,2

0,035 = 0,053с−1. ω = 0,053с−1.

ω5

r6

6

r6

5

0,8

6

Ускорение точки A тангенциальное

aτ = dv = 0,6м/ с2

;

ε1 = aτ

dt

=

0,6

=1,5с−2 .

R

0,4

a = a =

h

ε

=

0,04

1,5 0,01м/ с2 ;

2π

2π

1

2

1

a

= a tgα = 0,01 tg70o = 0,027м/ с2 ;

3

2

ε4 =

a3

=

0,027 = 0,034с−2 ;

ε5 =

r4

ε4 = 0,6 0,034 = 0,017с−2

;

R4

0,8

r5

1,2

ε6 =

r5

ε5

= 1,2 0,017

= 0,026с−2 .

r6

0,8

Скорость точки M vM = ω6r6 = 0,053 0,8 = 0,042м/ с.

По формуле (2) вычисляем ускорение точки M:

a = r

ω4

+ε2

= 0,6

0,0534 + 0,0262 = 0,0157м/ с2 .

M

6

B

B

113

По формуле (3) определяем

	tgµ =			ε6			=	0,026	= 0,049 , µ = 26,1D.
								0,053
			ω2
			6
Ответ: v	M	= 0,042м/ c ; a							= 0,0157м/ с2 ; µ = 26,1D.
								M

Все эти векторы показаны на рис. 78.

114

Задача К.3. Кинематический расчет плоского механизма

В заданных вариантах (рис. 80 – 85) для плоского механизма описать вид движения каждого звена в данный момент времени. Найти: скорости точек A, B, C и D; угловые скорости всех звеньев механизма; ускорения точек A, B и C; угловые ускорения звеньев механизма.

Необходимые для расчета данные приведены в таблицах 6, 7.

1. Плоское движение твердого тела

При плоском или плоскопараллельном движении все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Механизмы, звенья которых совершают плоское движение, называются плоскими механизмами.

Пусть твердое тело 1 (рис. 79) совершает плоское движение.

Рис. 79

Отрезок AAо, принадлежащий телу 1, будет перемещаться поступательно. Полученное сечение (σ) тела 1 будет перемещаться в своей плоскости П. Следовательно, плоское движение твердого тела полностью определяется движением плоской фигуры (σ) в своей плос-

115

К 3.1		К 3.2

Рис. 80

116

Рис. 81

117

Рис. 82

118

Рис. 83

119

Рис. 84