Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

230

Рис.147

231

						Таблица 14
Номер	P1	P2	M		q	a
варианта
(рис.145 -
	кН	кН	кНм		кН/м	м
147)
1	6	8	4		2	0,5
2	10	4	5	1		1
3	8	6	6	1		0,5
4	4	6	4	2		1
5	5	4	3	1		0,5
6	10	8	6	2		1
7	5	5	5	1		0,5
8	8	5	4	2		1
9	6	8	5	1		0,5
10	10	8	6	2		1
11	5	6	4	1		0,5
12	6	6	6	2		1
13	8	6	2	1		0,5
14	6	4	2	2		1
15	4	4	1	1		0,5
16	8	8	6	2		1
17	5	4	3	1		0,5
18	7	5	6	2		1
19	8	6	4	1		0,5
20	10	8	6	2		1
21	4	4	3	1		0,5
22	8	6	4	2		1
23	9	9	5	1		0,5
24	10	8	6	2		1
25	6	8	4	1		0,5
26	7	4	5	2		1
27	8	8	6	1		0,5
28	6	6	5	2		1
29	8	4	4	1		0,5
30	10	8	6	2		1

232

где x; y; z – координаты точки; t – параметр времени; C – константа.

Стационарная или склерономная связь налагает ограниче-

ние только на координаты точки и имеет уравнение f(x; y; z; C) = 0. Вид такой связи показан на рис. 148. Для точки A стержни OA = l и AB будут являться связями. Найдем координаты этой точки.

Рис. 148

Вводим параметр ϕ - угол наклона стержня OA к оси Ox.

Тогда xA = l cosϕ и yA = l sinϕ. Избавляясь от параметра ϕ, находим уравнение стационарной (склерономной) связи

xA2 + yA2 −l2 = 0.

Нестационарная или реономная связь имеет такое же урав-

нение, как геометрическая связь

f(x; y; z; t; C) = 0.

Вид такой связи показан на рис. 149.

Рис. 149

233

На схеме	рис. 149 показан	математический маятник с перемен-
ной длиной	нити l = lo −ut ;	где lo – начальная длина нити; u =

const – скорость втягивания нити в колечко O.

Координаты точки A: xA = l sinϕ; yA = l cosϕ, где ϕ - угол отклонения нити от вертикали. Избавляясь от ϕ, находим уравнение не-

стационарной (реономной) связи	x2	+ y 2	−(l −ut)2	= 0 , в ко-
	A	A	o
тором явно присутствует время t.

Кинематическая связь налагает ограничения на координаты точки и ее скорость. Уравнение этой связи имеет вид

f (x;y;z; x;y;z;t) = 0.

Геометрические связи и интегрируемые кинематические связи составляют голономные1 связи. Механическая система, которая имеет такие связи, называется голономной системой.

Неинтегрируемые кинематические связи образуют неголономные связи. Соответственно этим видам связей систему называют

неголономная механическая система.

Связь называется двухсторонней (удерживающей), если она описывается уравнением – строгим равенством (f(x; y; z) = 0).

Односторонняя (неудерживающая) связь описывается не-

равенством (f(x; y; z)≤ 0 или f(x; y; z)≥ 0). При двухсторонней связи точка не может покинуть связь как в прямом, так и в обратном направлениях.

2. Возможные перемещения

Возможные перемещения (рис. 150) – это воображаемые бесконечно малые перемещения точек механической системы, которые позволяют совершать наложенные на систему связи.

1 Корень этого слова происходит от греческого holos – целый, полный. В механику этот термин ввел Герц Генрих Рудольф (22.02.1857 – 1.01.1894). Немецкий физик и механик. Основные работы посвящены электродинамике.

234

Рис. 150

Представим множество перемещений, допускаемых связью. Эти перемещения изображаются приращением радиус – вектора r точки A, расположенным в виде пучка векторов δr на поверхности П, которая будет в точке A касательной к криволинейной поверхности По. Если действительные перемещения обозначаются dr и dϕ , то возможные перемещения будем обозначать: δr - линейное; δϕ- угловое.

В дальнейшем изложении материала модуль вектора δr будем обозначать вместо δr просто δr .

На рис. 151 связь, неподвижный цилиндрический шарнир (точка O), позволяет повернуть стержень 1, по ходу или против хода часовой стрелки, на бесконечно малый возможный угол поворота δϕ.

Рис. 151

Тогда точки концов стержня A и B переместятся по дугам AA1и

BB1. При бесконечно малых перемещениях эти дуги можно заме-

нить отрезками в виде векторов δrA и δrB , которые будут перпен-

дикулярны стержню AB. При этом по модулю δrA = δϕ AO и

235

δrB = δϕ OB . Исключая из полученных равенств δϕ, находим зависимость между возможными перемещениями точек:

δrA = AO .

δrB OB

Если механическая система имеет стационарные (склерономные) связи, то действительные перемещения материальных точек будут совпадать с возможными перемещениями этих же точек.

При реономных связях действительные перемещения не совпадают с возможными перемещениями.

Если действительное приращение времени dt ≠ 0, то δ t = 0, т.е. механическая система всегда рассматривается в фиксированный момент времени.

Работа силы на действительном перемещении:

′					′
d A = F dr ;					d A = F dr cosα ;

где α - угол между векторами силы F и перемещения dr . Работа силы на возможном перемещении:

δA = F δr ; δA = F δr cosα .

Если работа реакций связи на возможном перемещении равна нулю (δA = N δr = 0), то такая связь называется идеальной

(совершенной).

При таких видах связей всегда будет тождественно выполнять-

n

ся условие ∑Nk δrk ≡ 0 ; где Nk - реакция связи k – ой точки.

k =1

3. Принцип возможных перемещений

Если механическая система находится в покое и имеет стационарные (склерономные), идеальные (совершенные) и двухсторон-

ние (удерживающие) связи, то сумма работ активных сил на возможных перемещениях равна нулю.

236

На каждую точку механической системы, которая находится в покое, действуют силы: Fk - активная сила; Nk - сила реакции свя-

зи (рис. 152).

Рис. 152

Две силы {Fk ;Nk }~ 0 или Fk + Nk = 0 (k =1,n). Связь, наложенная на точку Ak, позволяет совершить возможное перемещение

δ

= 0 умножим скалярно на вектор δ

rk . Равенство Fk + Nk

rk и,

просуммировав от 1 до n, получим:

n

n

∑Fk δ

rk + ∑Nk δ

rk = 0 ;

k =1

k =1

где Fk δrk = δAkА- работа активной силы на возможном перемещении;

			δ			= δ AN
N							- работа реакции связи на возможном пере-
		k		r
				k		k

мещении.

Но механическая система имеет идеальные (совершенные) связи,

поэтому δAN	= 0 .
k
Окончательно запишем принцип возможных перемещений:
	n
	∑δAkА = 0.	(1)

k =1

237

Равенство (1) еще называется уравнением работ активных сил на собственных возможных перемещениях точек приложения этих сил.

4. Определение зависимостей между возможными перемещениями

При решении задач с использованием (1) нам необходимо знать связь между возможными перемещениями всех точек механической системы. Если связи в системе стационарные (склерономные), то первый способ, который определяет взаимосвязь между возможными перемещениями – это способ мгновенного центра поворота (МЦП), который совпадает с мгновенным центром скоростей

(МЦС).

Для определения МЦП (рис. 153) нужно к векторам возможных перемещений δrA и δrB в точках A и B восстановить перпендикуляры AP и BP. Пересечение этих перпендикуляров и даст точку P (МЦП). Относительно МЦП тело (σ) повернется на угол δϕ. Тогда δ rA = PA δϕ и δ rB = PB δϕ. В полученном равенстве исключаем δϕ и находим соотношение между δrA и δrB :

δrA	=	δrB	.	(2)
PA		PB

Рис. 153

238

Для определения возможного перемещения точки D эту точку соединяем с P (МЦП) и перпендикулярно PD проводим вектор δrD в сторону, указываемую углом δϕ.

Соотношение (2) широко применяется при решении задач. При этом равенство (1) удобнее всего использовать в другой форме, т.е. составлять не уравнение работ сил на собственных возможных перемещениях, а составлять уравнение работ моментов этих сил, относительно собственных МЦП, на возможных углах поворота для каждого звена плоского механизма.

Такая форма имеет вид:

n
∑Mpj (Fk ) δϕj = 0			; ( j =		)
				1,s		(3)
k =1

где s – количество звеньев плоского механизма.

Если звено участвует в мгновенно-поступательном движении, то нужно использовать равенство (1).

Второй способ: если механическая система имеет стационарные (склерономные) связи, то проекции (рис. 154) векторов возможных перемещений двух точек A и B на прямую, проходящую через эти точки, равны. Через точки A и B проводим прямую MN и

на нее проецируем векторы	δ			δ			Aa = Bb, или
		rA и			rB , тогда
δrAcosα = δrBcosβ . Как	показать			возможное			перемещение

точки D, лежащей на прямой MN между точками A и B? От точки D вправо нужно отложить отрезок Dd = Aa = Bb, а затем в точке d к прямой MN

Рис. 154

239

восстановить перпендикуляр. Затем через концы векторов δrA и

δrB провести прямую M1N1, которая пересечет перпендикуляр в точке c. Точку D соединяем с точкой c – это и будет вектор возможного перемещения точки D (δrD ) , при этом δ rD cosβ = Dd = Aa

= Bb.

5. Эквивалентные схемы опор конструкции

Принцип возможных перемещений, равенства (1) и (3), удобно использовать для определения реакций опор статически определимой неподвижной конструкции, состоящей из нескольких тел. Для каждой реакции связи составляется своя расчетная схема с изображением эквивалентной опоры, тогда неподвижная конструкция становится механизмом.

Наиболее часто встречающиеся заданные и эквивалентнорасчетные схемы опор показаны в таблице 15.

Пример решения задачи Д. 5.1

Схема плоского механизма, который находится в равновесии под действием момента M и сил P, Q, показана на рис. 155.

Рис. 155