Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

190

Рис. 122

Точка 1 совершает сложное движение, состоящее из переносного и относительного движений. Поэтому

V =Ve +Vr .

Покажем эти скорости на схеме. Обозначим точку пересечения оси Oz с плоскостью пластины O1. В начальный момент, когда точка находится в A, относительная скорость V1r = u направлена по траектории от A к B. Чтобы показать переносную скорость, соединим точку O1 c точкой A и перпендикулярно радиусу O1A в сторону вращения показываем вектор переносной скорости V1e .

В конечный момент, когда точка находится в B, относительная скорость V2r = u направлена также по траектории AB в сторону относительного движения. Чтобы показать переносную скорость, соединим точку O1 c точкой B и перпендикулярно радиусу O1B в сторону вращения показываем вектор переносной скорости V2e .

Из расчетной схемы видно, что все внешние силы либо параллельны, либо пересекают ось Oz.

191

n
Поэтому ∑Mz(Fke ) = 0			и Kz	= const для любого момента вре-
k =1
мени, или K2z = K1z . Здесь			K1z	и K2z - соответственно кинетиче-

ские моменты системы в начальный и конечный моменты времени. В общем виде кинетический момент заданной системы вычис-

ляется по формуле

Kz = Kzпл + Mz (m1V ).

Здесь Kzпл = Izωz - кинетический момент пластины,

Mz (m1V ) - кинетический момент точки.

Вычислим момент инерции пластины относительно оси Oz.

В таблице 11 находим момент инерции прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс пластины перпендикулярно ее плоскости

	m (a2	+ b2 )
Iz′ =	2		.
	3
C

Момент инерции пластины относительно оси вращения определим, используя теорему Гюйгенса – Штейнера

I		= I ′	+ m	b		2	= m	4a2	+ 7b2	.
	z
		zC	2		2		2	12

Вычислим кинетический момент системы в начальный момент времени, когда точка находится в A.

K1z = K1zпл + Mz (m1V1 ).

Кинетический момент пластины определяем по формуле

K1zпл = Izωoz ,

где ωoz - проекция вектора угловой скорости ωo пластины на ось вращения Oz. Пусть пластина в начальный момент времени вращается так, как показано на схеме. Тогда вектор ωo направлен вверх и ωoz = ωo . Следовательно,

192

K пл = I ω	= m	4a2 + 7b2 ω .
1z z o	2	12	o

Кинетический момент точки относительно оси вращения вычислим как сумму кинетических моментов точки в переносном и относительном движениях

Mz (m1V1 ) = Mz (m1V1e ) + Mz (m1V1r ).

Так как V1e = ωo O1A и V1r = u , то, с учетом правила знаков для моментов, получаем

Mz (m1V1e ) = m1V1e O1A = ωo m1(O1A)2 ;

Mz (m1V1r ) = −m1V1r h = −m1u h.

Радиус OA определяется по формуле O A =	a2 +		3 b	2 .
1			2

Плечо момента Mz (m1V1r ) - h определяется как перпендикуляр,

опущенный из точки O до линии действия вектора V1r .

h =O A sin(ϕ		−ϕ	2	) = O A	a2 +		3 b	2	sin(ϕ	−ϕ	2	).
1	1			1			2		1

Синус разности двух углов представим в виде

sin(ϕ1 −ϕ2 ) = sinϕ1 cosϕ2 − sinϕ2 cosϕ1 .

Значения тригонометрических функций находим из рисунка:

sinϕ =	2a	,	sinϕ	2		=		a	,
1	AB					O1A
						3
cosϕ =	b	,	cosϕ		2	=		2 b		,
1	AB						O1A

где AB = (2a)2 + b2 .

193

3

Следовательно,

sin(ϕ −ϕ

2

) =

2a

2 b

−

a

b

=

2ab

1

AB O1A O1A AB O1A AB

и h =O A sin(ϕ −ϕ

2

) = O A

2ab

= 2ab

=

2ab

.

1

1

1

O1A

AB AB

(2a)2 + b2

С учетом найденных значений кинетический момент точки определим по формуле

Mz (m1V1 ) = ωo m1(O1A)2 − m1u h =

			2	3			2			2ab
= m1	a			+		b			ωo −				u .
					2
										2	+ b	2
										(2a)

Таким образом, кинетический момент механической системы в начальный момент времени будет равен

	4a	2	+ 7b		2								2				3				2				2ab
K1z = m2								ωo + m1		a					+				b				ωo −							u	=
		12															2								2			2
																										+ b
																									(2a)
	4a	2	+	7b		2				2				3				2							2ab
= m2								+ m1	a		+					b				ωo − m1									u .
		12												2
																									2	+ b	2
																									(2a)

Вычислим кинетический момент механической системы относительно оси вращения в конечный момент времени, когда точка достигнет B

K2z = K2плz + Mz (m1V2 ) .

Кинетический момент пластины определяем по формуле

K2плz = Izωz ,

где ωz - проекция вектора угловой скорости ω пластины на ось вращения Oz. Предположим, что вектор ω направлен вверх. Тогда ωz = ω . Тогда

K пл = I	ω = m	4a2 + 7b2	ω.
2z z	2	12

194

Кинетический момент точки относительно оси вращения вычислим как сумму кинетических моментов точки в переносном и относительном движениях

Mz (m1V2 ) = Mz (m1V2e ) + Mz (m1V2r ) .

Так как V2e = ω O1B и V2r = u , то, с учетом правила знаков для моментов, получаем

Mz (m1V2e ) = m1V2e O1B = ω m1(O1B)2 ;

Mz (m1V2r ) = −m1V2r h = −m1u h .

Радиус вращения в переносном движении OB определяется по

формуле O B =	a2 +	b		2 .
1			2

Так как траектория относительного движения – прямая линия AB, то расстояние h от точки O1 до линии действия вектора V2r такое же, как и в первом случае.

С учетом найденных значений кинетический момент точки определим по формуле

Mz (m1V2 ) = ω m1(O1B)2 − m1u h =

2

b

2

2ab

= m1

a

+

ω −

u .

2

2

+ b

2

(2a)

Таким образом, кинетический момент механической системы в конечный момент времени будет равен

K	2z	= m			4a2		+ 7b2
			2			12
				4a		2	+ 7b	2
	= m2
						12

						b				2
ω + m													ω −
			a2 +
	1
								2
				b			2
+ m			+								ω		− m
	a2
1					2								1

Приравняем значения K2z и K1z

	2ab
				=
			u
	(2a)2 + b2
	2ab		u .
	(2a)2 + b2

195

	4a		2		+ 7b		2									2					b			2											2ab
m2										+ m1				a				+									ω			− m1									u =
				12
																						2														2		2
																																(2a) + b
		4a		2	+ 7b			2									2					3				2										2ab
= m2										+ m1					a				+				b							ωo − m1											u .
				12																		2
																																				2	+ b			2
																																				(2a)
Отсюда получаем ответ
						m					4a	2		+ 7b					2		+ m												2
																									a2 + 3 b
								2					12										1
																														2
				ω =																																ω .
						m					4a		2		+ 7b					2										+ b		2				o
																					+ m					a2
								2						12										1
																														2

196

Задача Д.3. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Механическая система (рис. 123 – 125) движется под действием силы F , приложенной к катку 1. В системе действует момент сопротивления M. В вариантах 18, 20, 23, 25, 26, 27 тела 3 и 4 скользят по гладкой поверхности.

При заданных величинах (таблица 12) во всех вариантах схем определить ускорение точки A тела 1.

Для всех вариантов радиус катка 1 R1 = 1м.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинетическая энергия – это качественная характеристика механического движения точки и механической системы, твердого тела.

Кинетическая энергия механической системы будет определяться по формуле:

T =	1 mV;		2	+T r,	,
	2	C		C

где m = ∑mk - масса механической системы;

VC - скорость центра масс при поступательном движении системы;

TCr - сумма кинетических энергий каждой материальной точки в относительном движении, по отношению к центру масс C.

В общем случае для механической системы T = ∑n 1mkVk2 , где Vk

k =1 2

- абсолютная скорость k – ой точки;

197

Рис. 123

198

Рис. 124

199

Рис. 125