Теоретическая механика. Теория, задания и примеры решения задач (Б.Е.Ермаков)

220

Тогда первое уравнение будет иметь вид:

8a1 = 80cos 20o −19 + 78,4 sin30o −T5 , или 8a1 = 95,4 −T5 , где

a1 = x1.

Тело 2 Двухступенчатый шкив 2 вращается (рис. 139) вокруг горизон-

тальной оси.

На тело 2 действуют следующие силы: P2 = m2g = 10 9,8 = 98 Н

– сила тяжести тела; T5 = T5', T6, T7 – силы натяжения нитей; M – пара сил.

Рис. 139

Для тела 2 применяем дифференциальное уравнение (6):

I2zϕ2 = ∑Mz (Fke );

где I2z = m2ρ22 =10 0,62 = 3,6кгм2 ; ϕ2 = ε2 = 2,5a1. Тогда 3,6 2,5 a1 =T5' r2 −(T6 +T7 ) R2 ,

9a1 =T5' 0,4 −0,8 T6 −0,8 T7 .

Окончательно получаем 22,5a1 =T5' − 2T6 − 2T7 .

Тело 3 Диск 3 (рис. 140) находится в плоском движении.

На диск 3 действуют следующие силы: P3 = m3g= 4 9,8 = 39,2 Н

– сила тяжести диска; T7, T8 – силы натяжения нитей.

221

Рис. 140

Запишем дифференциальные уравнения (7) для диска:

m3 x3 = ∑Fkxe 3 ;

I3zϕ3 = ∑Mz (Fke );

третье		уравнение –	тождество					0 ≡ 0,		так как y3 = const и
∑Fkye	3	= 0.
При x3 = a3 = 2a1 и ϕ3 = ε3 = 5a1 получим:
		2m a =T − P −T ;
				3	1			7	3	8
			1 m R2			ε	3	=T	R .
			2	3	3			8		3

Из второго уравнения находим T8:
		m R2	ε	3		4	0,4	5a	= 4a .
T	=	3 3			=			1
8	2						2		1

Из первого уравнения определим T7:

T7 = 2m3a1 + P3 +T8 = 2 4a1 + 39,2 + 4a1, или T7 = 39,2 +12a1 .

222

Тело 4 Цилиндр 4 (рис. 141) находится в плоском движении. Он катится

по горизонтальной плоскости без скольжения.

Рис. 141

На цилиндр действуют силы: P4 = m4 g = 6 9,8 = 58,8 Н – сила тяжести цилиндра; N4 – реакция нормального давления; Fсц – сила трения сцепления; T6’ – сила натяжения нити (T6 = T6’ ).

Для цилиндра запишем дифференциальные уравнения (7):

						m4x4			= ∑Fkxe	;
									4
						m	y	4	= ∑Fe	;
						4			ky4
						I ϕ					e ) .
								4	= ∑M (F
						4z			z	k
При x4 = a4 = a1,						ϕ4 = ε4 =1,67a1, y4 = R4 = const ,
I	4z	=	1 m R2		= 1	6 0,62 =1,08 (кгм2)
			2	4 4	2

система уравнений принимает вид:

6a1 =T6' + Fсц ;

0 = N4 − P4 ;

1,08 1,67 a1 =T6' R4 − Fсц R4 .

Откуда N4 = P4 = 58,8Н;

223

6a1 =T6′ + Fсц ;

3a1 =T6′ −Fсц .

В полученных уравнениях исключаем силу Fсц и получим

T6′ = 4,5a1 .

Составим систему алгебраических уравнений, полученных для каждого тела:

8a1 = 95,4 −T5 ;22,5a1 =T5′ − 2T6 − 2T7 ;

12a1 + 39,2 =T7 ;

4,5a1 =T6′;

где T5 =T5′; T6 =T6′.

Из последних уравнений находим

T6′ +T7 = 39,2 +16,5a1.

Первое и второе уравнения сложим

−T6 −T7 =15,2a1 − 47,7 .

Получаем конечное уравнение 31,7a1 −8,5 = 0 , откуда

a1 = 31,78,5 0,27 м/с2.

224

Задача Д.5. Принцип возможных перемещений

Д. 5.1. Равновесие плоского механизма

Плоский механизм (рис. 142 – 144) с идеальными и удерживающими связями находится в равновесии под действием момента

M и сил P, Q.

Все силы, стержни и плоскость ползуна направлены под углами

0О, 30О, 60О, 90О к горизонту.

Определить момент M по заданным силам P и Q, если длина кривошипа а = 1 м.

Ответ: M = 1 Нм.

Д. 5.2. Определение реакций плоской конструкции

Задана плоская конструкция (рис. 145 – 147), состоящая из двух тел 1 и 2, соединенных между собой при помощи цилиндрического шарнира C. На конструкцию действуют: P1, P2 – сосредоточенные силы; M – момент пары сил; q – равномерно распределенная нагрузка. Используя принцип возможных перемещений, определить реакции в опорах A, B и D.

Необходимые для расчета данные приведены в таблице 14.

1. Классификация механических связей

Механические связи – это тела, которые ограничивают положение или движение точек механической системы.

В аналитической механике, как и в статике, действует принцип освобождаемости от связей. Несвободную механическую систему формально можно представить свободной, если отбросить связи и их действие на систему заменить реакциями связей.

Геометрическая связь налагает ограничение на координаты точки. Уравнение такой связи имеет вид f(x; y; z; t; C) = 0;

225

Рис. 142

226

Рис. 143

227

Рис. 144

228

Рис. 145

229

Рис. 146