- •Предисловие
- •1.3. Принципы управления.
- •1.4. Задачи теории
- •Литература
- •2.1. Дифференциальное и операторное
- •2.3. Математические модели входных воздействий.
- •2.4. Переходная функция.
- •Литература
- •3.1 Усилительное звено.
- •3.2. Запаздывающее звено
- •3.3. Инерционное звено.
- •Построение выполняется по формуле
- •Вначале находим координаты пересечения:
- •Построение выполняется по формуле
- •Комплексная частотная характеристика
- •Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
- •В случае 0,3 нужно пользоваться точной лачх из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.
- •3.7. Апериодическое звено второго порядка.
- •3.8. Классификация типовых звеньев.
- •Литература
- •4.1. Построение и анализ структурных схем.
- •4.1.1. Элементы структурных схем
- •4.1.2. Метод анализа структурной схемы
- •4.2. Передаточные функции систем
- •4.2.1. Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное соединение звеньев.
- •4.2.3. Система с обратной связью
- •4.2.6. Передаточная функция по ошибке
- •4.2.7. Передаточная функция по возмущению.
- •4.2.8. Передаточные функции системы с перекрестными связями
- •4.3. Статические и астатические системы
- •4.4.2.1. Перенос узла через узел.
- •4.4.2.2. Перенос сумматора через сумматор.
- •4.4.2.3. Перенос сумматора через узел по направлению передачи сигнала
- •4.4.2.4. Перенос сумматора через узел против направления передачи сигнала.
- •4.4.3. Перенос узла или сумматора через звено.
- •4.4.3.1. Перенос узла с выхода звена на вход.
- •4.4.3.2. Перенос узла с входа звена на выход.
- •4.4.3.3. Перенос сумматора с выхода звена на вход.
- •4.4.3.4. Перенос сумматора с входа звена на выход.
- •5.1. Понятие об устойчивости.
- •Записываем операторное уравнение
- •5.2. Критерий Гурвица. Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.
- •5.3. Критерий Михайлова.
- •Находим передаточную функцию замкнутой системы
- •5.4. Критерий Найквиста
- •Если система замкнутая, ее передаточная функция
- •Требуется, чтобы и в плоскости область устойчивости находилась слева от кривойD-разбиения, если двигаться от к. Левая сторона кривой штрихуется.
- •Литература
- •6.1. Прямые показатели качества
- •6.2. Косвенные показатели качества
- •6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.
- •Интегральные оценки качества. Первая интегральная оценка:
- •6.3. Чувствительность к изменению
- •Литература
- •7.1. Понятие синтеза системы.
- •2. Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •3. Пропорционально-дифференциальный регулятор (пд-регулятор)
- •1. Последовательная коррекция.
- •2. Параллельная коррекция.
- •3. Коррекция по возмущению.
- •Литература
- •Преобразование сигналов импульсным устройством
5.1. Понятие об устойчивости.
Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой. В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.
Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.
Если заранее выяснить, будет ли регулируемая величина неограниченно возрастать после воздействия, можно получить ответ на вопрос об устойчивости системы.
Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением. Оно было записано для разомкнутой системы в главе 2:
(2.1)
Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением
. (5.1)
Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y(t) = e pt. Беря производные и подставляя в уравнение (5.1) находят характеристическое уравнение
, (2.7)
решая которое, получают корни pi . Полное решение уравнения (5.1) слагается из экспонент:
(5.2)
где Сi – постоянные интегрирования.
Функция y(t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корнейpi.
Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y(t)0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.
Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y(t). Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.
Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y(t)0. Система, следовательно, устойчивая.
В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частью система неустойчивая.
При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.
Итак, система устойчива только в том случае, когда действительная часть корней характеристического уравнения отрицательная.
Для суждения об устойчивости необязательно решать дифференциальное уравнение. Как было показано в Главе 2, дифференциальному уравнению (2.1) соответствует передаточная функция
, (2.6)
где ,
.
Знаменатель передаточной функции – характеристический полином. Будучи приравнен нулю, он дает характеристическое уравнение:
(5.3)
Дифференциальные уравнения (2.1), (5.1) и передаточная функция (2.6) описывают разомкнутую систему, следовательно, характеристическое уравнение (5.3) тоже относится к разомкнутой системе.
Зная передаточную функцию разомкнутой системы W(p), можно записать передаточную функцию замкнутой системы:
. (4.6)
Заменяя W(p) по формуле (2.6), получаем:
. (5.4)
Знаменатель – характеристический полином замкнутой системы.
Сравнивая формулы (5.7) и (2.6), по аналогии заключаем, что уравнение
. (5.5)
представляет собой характеристическое уравнение замкнутой системы.Поделив (5.5) наD(p), получаемхарактеристическое уравнение замкнутой системы, выраженноечерезпередаточную функцию разомкнутой системы:
. (5.6)
Формулы (5.3), (5.5), (5.6) дают возможность судить об устойчивости разомкнутой или замкнутой системы автоматического регулирования.
П
Дано дифференциальное уравнение разомкнутой системы:
Найти характеристическое уравнение и его корни.