5.3. Критерий Михайлова.

Устойчивость системы выясняется по характеристическому полиному передаточной функции:

D (p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + …+ a_n-1p + a_n , (2.5)

где n – степень полинома.

Полагая p = j , преобразуем характеристический полином в комплексный частотный полином:

D (jω) = a₀(jω)ⁿ + a₁(jω)^n-1 +…+ a_n-1(jω) + a_n .

В зависимости от степени числа (jω)ⁿ оно либо действительное, либо мнимое. По этой причине частотный полином распадается на действительную часть U(ω) и мнимую часть V(ω):

D(jω) = U(ω) + j V(ω) , (5.7)

U(ω) = a_n - a_n-2ω² + a_n-4ω⁴ -… (5.8)

V(ω) = a_n-1ω - a_n-3ω³+a_n-5ω⁵ -…. (5.9)

U(ω) – четная функция ω, V(ω) – нечетная функция ω. По этому признаку полиномы (5.8) и (5.9) можно назвать «четный» и «нечетный».

Задавая какое-либо значение частоты ₁, из (5.8) и (5.9) получим числаU(₁) иV(₁) . Вместе они образуют комплексное числоD(j₁) . На комплексной плоскости оно обозначается точкой М(U,V) , рис. 5.1. Множество точек М(U,V) , отвечающих разным частотам, образуют кривую, которая называется годографом Михайлова.

Рассмотрим годографы Михайлова для устойчивых систем.

В случае устойчивых систем годограф Михайлова имеет свойство начинаться с точки U(0) = a_n , V(0) = 0 , рис. 5.1. По мере увеличения  от нуля до бесконечности, точка М(U,V) перемещается влево так, что кривая стремится охватить начало координат, одновременно удаляясь от него. Если провести радиус-вектор из начала координат в точку М(U,V), то окажется, что радиус-вектор будет поворачиваться против часовой стрелки, непрерывно увеличиваясь. Непрерывно увеличивается и угол, который он образует с осью абсцисс. Представив комплексное выражение (5.7) в экспоненциальной форме,

,

обнаруживаем, что радиус-вектор есть модуль комплексного частотного полинома |D(j)| , а угол () – аргумент. Модуль имеет величину , аргумент равен.

Вид годографа Михайлова зависит от степени n характеристического полинома (2.5) . Годографы полиномов первых четырех степеней показаны на рис. 5.2. Они соответствуют устойчивым системам. Анализ годографов устойчивых систем позволяет сделать выводы, которые и составляют содержание критерия Михайлова.

Можно дать три формулировки критерию Михайлова.

Первая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности годограф Михайлова начинается на действительной оси в точке a_n, последовательно проходит против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не проходя через ноль, и уходит в бесконечность в n-м квадранте, - система устойчива.

V() V

n = 2

n = 1

n = 3

V M(U,V)



0

a_n

U

U

0

U()

n = 4

Рис.5.1. Рис. 5.2.

Вторая формулировка. Если при изменении частоты от нуля до бесконечности вектор комплексного частотного полинома D(j) последовательно поворачивается против часовой стрелки на угол n(/2), где n – степень характеристического полинома, и нигде не становится нулем, - система устойчива.

Обратим внимание на частоты, при которых годограф пересекает оси координат. Назовем их «частоты пересечения». Первая частота нулевая, с нее начинается годограф. При ₁ = 0 U(0) = a_n , V(0) = 0 . Вторая отвечает точке пересечения годографом положительного отрезка оси ординат, U(₂) = 0 , V(₂) – некоторое число. Непрерывно увеличивая частоту, при некоторой, равной ₃, получим пересечение годографа с отрицательной частью оси абсцисс. Очевидно, четвертым будет пересечение с отрицательной частью оси ординат при частоте ₄. Далее последуют частоты пересечения ₅, ₆, …,_n. Все они действительные положительные числа, каждое последующее больше предыдущего.

Третья формулировка критерия Михайлова: если частоты пересечения годографа с осями координат чередуются и образуют возрастающую последовательность вида ω₁ < ω₂ < ω₃ <…_n, - система устойчивая.

В отличие от предыдущих, третья формулировка позволяет исследовать устойчивость системы без построения годографа, аналитически. Соображения следующие.

Каждому пересечению годографом действительной оси (когда V() = 0) будет соответствовать корень нечетного полинома V(). Каждому пересечению мнимой оси (когда U() = 0) будет соответствовать корень четного полинома U(). Следовательно, по мере увеличения  корни полиномов V() и U() для устойчивой системы должны чередоваться (корень полинома V() сменяется корнем полинома U() и т.д.); корень каждого последующего пересечения оси должен быть больше предыдущего, все корни должны быть действительными. Общее число корней равно степени характеристического полинома.

В случае неустойчивых систем кривые не охватывают начало координат, чередования частот нечетного и четного полиномов нет, рис. 5.3.

V

V

n = 3n = 4

n = 4 n = 3

0 0

U

U

n = 1

n = 2

Рис. 5.3. Рис. 5.4.

Если годограф начинается из начала координат или проходит через начало координат, система находится на границе устойчивости, рис. 5.4.

П

ример 5.6.

Построить годограф Михайлова для характеристического уравнения

2 p + 1 = 0.

Имеем: D(j) =1 + j2, U() = 1, V() = 2, |D(j)| = , tg = 2 . Полагая V() = 0, получаем начало годографа: |D(j)| = 1. В пределах 0    угол меняется от  = 0 до  = /2, т.е. вектор D(j) поворачивается против часовой стрелки один раз на /2. При этом, V() растет, а U() остается равным 1. Годограф получается в виде прямой, параллельной мнимой оси, рис. 5.5.

Рис. 5.5. n = 1 . Рис. 5.6. n = 2 .

П

ример 5.7.

Выяснить устойчивость системы с характеристическим уравнением второй степени

9p² + 4 p + 2 = 0 .

Комплексный частотный полином, его действительное и мнимое слагаемые имеют вид:

D(j) = - 9 ² + j4 + 2,

U() = 2 – 9 ²,

V() = 4  .

Полагая V() = 0, находим: первая частота пересечения ₁ = 0. Годограф начинается в точке U(₁) = 2. Пересечение годографа с мнимой осью задается уравнением U() = 0. Находим: вторая частота пересечения ₂ = 0,47. Ордината пересечения V(₂)  1,9. Во втором квадранте, с увеличением частоты, годограф уходит в бесконечность. График показан на рис. 5.6.

Годограф проходит первый квадрант и уходит в бесконечность во втором. Вектор D(j) поворачивается на угол, равный степени характеристического уравнения, умноженной на /2: Корни действительные, ₁  ₂ и требование последовательного возрастания частот пересечения выполняется. Следовательно, система устойчива.

Пример 5.8.

Разомкнутая система имеет передаточную функцию

.

Выяснить устойчивость замкнутой системы.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

0,009p³ + 0,02p² +1,1p + 10 = 0.

Комплексный частотный полином, нечетный и четный полиномы:

D(j) = - j 0,009³ – j 1,1 + 10 – 0,02 ² ,

V() = 1,1 - 0,009³,

U() = 10 – 0,02 ² .

Частоты пересечения:

V() = 0, ₁ = 0, ₃ = 11,0 .

U() = 0, ₂ = 22,4 .

Требование чередования частот при последовательном возрастании не выполняется:

₁  ₂  ₃ .

Следовательно, система неустойчива.

Подтверждение этому получим, вычислив значения угла поворота вектора D(j) при частотах пересечения с осями. Запишем тангенс аргумента:

.

Вычисляем: ω₁ = 0, tg φ = 0, φ₁ = 0.

ω₂ = 22,4, tg φ = -, φ₂ = -90.

ω₃ = 11,0 tg φ = 0,00, φ₃ = 0.

Угол φ не возрастает последовательно для каждой частоты пересечения. И не становится равным степени характеристического уравнения, умноженной на /2.

Как выглядит годограф Михайлова, показано на рис. 5.7.

Таблица данных

V

ω	U	V
0	10	0
5	9,5	4,4
11	7,6	0
15	5,5	-14
22,4	0	-76

0 5 10 U

-40

-60

Рис. 5.7

Кривая не охватывает начала координат. Система неустойчивая.

Пример 5.9.

Система с передаточной функцией

замыкается. Будет ли она устойчивой?