3.3. Передаточная функция

 

В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dtтак, что,dy/dt = py, аpⁿ = dⁿ/dtⁿ. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:

 

a_op⁽ⁿ⁾y + a₁p^(n-1)y + ... + a_ny = (a_op⁽ⁿ⁾ + a₁p^(n-1) + ... + a_n)y = (b_op^(m) + b₁p^(m-1) + ... + bm)u

 

Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t)(оригиналы), а не ихизображенияY(p), U(p), получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так операторpможно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то естьpyyp. Его можно выносить за скобки и т.п.

Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:

 

 

Дифференциальный оператор W(p)называютпередаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени:W(p) = y(t)/u(t), поэтому ее еще называютдинамическим коэффициентом усиления. В установившемся режимеd/dt = 0, то естьp = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звенаK = b_m/a_n.

Знаменатель передаточной функции D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_nназываютхарактеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменательD(p)обращается в ноль, аW(p)стремится к бесконечности, называютсяполюсами передаточной функции.

Числитель K(p) = b_op^m + b₁p^{m - 1}+ ... + b_mназываютоператорным коэффициентом передачи. Его корни, при которыхK(p) = 0иW(p) = 0, называютсянулями передаточной функции.

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функцияW_и(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называетсяструктурной.

 

3.4. Элементарные динамические звенья

 

Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:

 

W_э(p) =.

 

Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать

 

D(p) = a_opⁿ + a₁p^{n - 1} + a₂p^{n - 2} + ... + a_n = a_o(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n),

 

где p₁, p2, ..., p_n- корни полиномаD(p). Аналогично

 

K(p) = b_opm + b₁p^{m - 1}+ ... + bm = b_o(p - p^~₁)(p - p^~₂)...(p - p^~m),

 

где p^~₁,p^~₂, ...,p^~m- корни полиномаK(p). То есть

 

 

Корни любого полинома могут быть либо вещественными p_i = a_i , либо комплексными попарно сопряженнымиp_i = a_i ± j_i . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель(p - a_i ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как

 

(p - a_i + j_i )(p - a_i - j_i ) = (p - ai)² + _i ² = p² - 2pa_i + (a_i ² + _i ²).

 

То есть

 

Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.

В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то естьW(p) =,W(p) =,W(p) = 1/p,W(p) = p,W(p) = Tp + 1,W(p) = k. Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.

 

Вопросы

1. Какой режим САУ называется динамическим?

2. Что называется регулированием?

3. Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?

4. Что называется уравнением динамики? Каков его вид?

5. Как провести теоретическое исследование динамики САУ?

6. Что называется линеаризацией?

7. В чем геометрический смысл линеаризации?

8. В чем состоит математическое обоснование линеаризации?

9. Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях?

10.  Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему?

11.  Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом?

12.  Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах?

13.  В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p?

14.  Что называется передаточной функцией звена?

15. Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему?

16.  Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t).

17.  Что называется динамическим коэффициентом усиления звена?

18.  Что называется характеристическим полиномом звена?

19.  Что называется нулями и полюсами передаточной функции?

20.  Что называется динамическим звеном?

21.  Что называется структурной схемой САУ?

22.  Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями?

23.  Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев?