Вариант 5

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(-2:0:1), В(3:-2:1) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственную точку прямой

4. Рассмотрите частный случай конфигурации Дезарга на расширенной плоскости, когда дезаргова ось – несобственная прямая. Сформулируйте прямую и обратную теорему этого частного случая в терминах евклидовой геометрии.

5. На прямой даны четыре точки А, В, С, Д, причем АВ=ВС=СД. Найдите (АВ, СД).

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АДСВ).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее центр.

8. Написать уравнение касательной к линии второго порядка в точке А(1:-2:-5).

9. Найти полюс прямой относительно квадрики.

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(0:1), В(-1:1), С(1:0) в точки А^/(3:2), В^/(1:3),C^/(5:1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

Вариант 6

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(1:1:-1), В(-1:0:1) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственные точки кривой

4. Даны две прямые l₁ иl₂. Точки А, В, С принадлежат прямойl, точки А₁, В_1, С₁ принадлежат прямойl₁. Докажите коллинеарность точек, если прямые АА₁, ВВ₁,СС₁принадлежат одному пучку.

5. Можно ли из четырех точек А(1:0), В(1:-1), С(1:2), Д(2:1) составить гармонически разделенные пары?

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АВДС).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее асимптоты.

8. Написать уравнение касательной к линии второго порядка в точке А(1:-1:-3).

9. Найти полюс прямой относительно квадрики.

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(1:1), В(3:4), С(1:2) в точки А^/(1:2), В^/(3:5),C^/(1:1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

Вариант 7

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(2:-3:1), В(-1:5:3) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственные точки кривой

4. Даны четыре точки А, В, С, S, из которых никакие три не коллинеарны, и прямаяs, не инцидентная ни одной из них. Постройте конфигурацию Дезарга с центромS, осьюsи трехвершинником АВС.

5. Найти (АВСД), если А(3), В(-1), С(1), Д(0).

6. Даны точки А(1:-2:1), В(0:-1:1), С(1:0:-1), Д(1:-1:0). Убедитесь в их коллинеарности и найдите (ДСВА).

7. Найти аффинный класс квадрики .

8. Какие из следующих точек сопряжены с точкой А относительно линии второго порядка .

9. Найти центр гиперболы .

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(2:3), В(1:2), С(1:1) в точки А^/(1:2), В^/(1:3),C^/(1:1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

Вариант 8

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(-4:2:3), В(3:2:7) и записать ее координаты.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(-1:2:3) и точку пересечения прямых и.

3. Найти несобственные точки кривой

4. Трехвершинники АВС и А^/В^/С^/имеют центр перспективы А(-2:2:1), В(-5:8:2), С(6:3:-2), А^/ (6:9:2), В^/(5:1:1). Найти координаты вершины С^/, если она принадлежит прямой.

5. Даны неоднородные аффинные координаты трех собственных точек расширенной евклидовой прямой: А(3), В(-1), С(2). Найдите (АВСД).

6. Даны точки А(1:-2:1), В(0:-1:1), С(1:0:-1), Д(1:-1:0). Убедитесь в их коллинеарности и найдите (АСВД).

7. Найти аффинный класс квадрики .

8. Найти уравнение поляры точки А(0:2:-1) относительно квадрики .

9. На прямой найдите точку, гармонически сопряженную с точкой

А(1:2:-1) относительно квадрики .

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(1:1), В(-2:3), С(-4:1) в точки А^/(2:1), В^/(-1:3),C^/(-5:1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.