Вариант 2

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(1:0:1), В(1:1:-1) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственную точку прямой .

4. Даны различные параллельные прямые aиb и неинцидентная им точкаC. Требуется построить с помощью одной линейки прямую, проходящую черезCпараллельноaиb.

5. (АСВД)=Найти (АДВС), (ВАДС), (АВСД).

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АСВД).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является эллипсом и найти его центр.

8. Найти точки пересечения линии второго порядка с прямой

9. Найдите уравнения поляр иточек А(2:1:0) и В(-1:1:1) соответственно, а также поляру точки С=относительно квадрики; путем непосредственного подсчета убедитесь, что она совпадает с прямой АВ.

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(-2:1), В(1:0), С(3:-2) в точки А^/(2:3), В^/(3:2),C^/(1:4) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

Вариант 3

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(1:4:3), В(2:1:3) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственную точку прямой .

4. Пользуясь одной линейкой, проведите прямую через точку М и недоступную точку пересечения прямых l иn.

5. Найдите (АВ,СД), если АД=3АВ, С- несобственная точка прямой АВ.

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АСДВ).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является эллипсом и найти его центр.

8. Найти точки пересечения квадрики с прямой (АВ), где А(4:3:1),

B(-1:7:0).

9. На прямой :возьмите произвольную точку В и найдите такой автополярный относительно квадрикитрехвершинник, чтобы точка В была его вершиной, а прямаястороной.

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(2:3), В(3:4), С(1:2) в точки А^/(-1:2), В^/(0:1),C^/(-2:1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.

Вариант 4

1. Написать уравнение прямой (АВ), если А(2:-1:0), В(0:1:0) и записать ее координаты.

2. Найти координаты точки пересечения прямых и.

3. Найти несобственную точку прямой

4. Рассмотрите частный случай конфигурации Дезарга на расширенной плоскости, когда дезаргов центр – несобственная точка. Сформулируйте прямую и обратную теорему этого частного случая в терминах евклидовой геометрии.

5. Докажите, что (АВ,СД)+(АС,ВД)=1

6. Даны точки А(1:0:1), В(1:-1:2), С(5:-2:7), Д(1:1:0). Докажите, что эти точки коллинеарны и найдите (АДВС).

7. Методами проективной геометрии показать, что кривая является гиперболой и найти ее асимптоты.

8. Найти точки пересечения квадрики с прямой (АВ), где А(1:1:0),

B(-1:1:10).

9. Найти полюс прямой относительно квадрики

10. Задайте формулами проективное преобразование проективной прямой, переводящее точки А(1:2), В(4:3), С(-2:1) в точки А^/(1:3), В^/(1:1),C^/(1:-1) соответственно. Найдите неподвижные точки этого преобразования.