Специально для групп С-12 / Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

где ºlOi — момент импульса i-й точки; ºr i — ее радиус-вектор;

º

Ri — равнодействующая всех сил, действующих на i-ю точку; N —

число точек системы.

Просуммируем все составленные уравнения. Тогда левая часть полученной суммы будет выражена в виде

N	d	º	º	] =	d	N	º	º	] .
∑	----	[ ri	, mi v i		----	∑ [ ri		, mi v i
	d t				d t
i = 1						i = 1

Моментом импульса системы точек относительно полюса

называется векторная сумма моментов импульсов каждой материальной точки системы относительно этого полюса:

º	N	º			N		º	º		] .
LO	= ∑ lOi		= ∑ [ ri ,					mi v i
	i = 1			i = 1
Тогда
	º
	d LO		N			º º
	----------	=	∑			ri	, Ri		.
	d t
			i = 1

(4.9)

(4.10)

Равнодействующая всех сил, действующих на i-ю точку системы,

º

º

определяется векторной суммой внешних Fi

и внутренних fik

сил:

º

º

N

º

Ri =

Fi

+ ∑

fik .

k = 1

Поэтому (4.10) перепишем в виде

º

d LO

N

º

N

N

º

º

º

,

----------

= ∑

ri ,

Fi

+ ∑

ri

∑

fik

.

d t

k = 1

i = 1

i = 1

Второе слагаемое в последнем уравнении определяет суммарный момент внутренних сил системы. Покажем, что он равен нулю. Для этого рассмотрим произвольную пару внутренних сил, действующих между i-й и k-й точками (рис. 4.4). Поскольку эти силы подчиняются

º	º
третьему закону Ньютона, то fik = –	f k i	. Поэтому сумма их

моментов относительно точки О определяется следующим образом:

º	º	º	,	º	º	,	º	] =
Mik	+ Mk i	= [ ri		fik	] + [ rk		f k i

= [ ºri , ºfik] – [ ºrk , ºfik ] = [( ºri – ºrk ), ºfik ] .

51

		mi	f
			ik
						–		fki
				ri			rk
	ri
										mk

rk

O

Рис. 4. 4

Векторы ºfik и ( ºri – ºrk ) параллельны, поэтому их векторное произведение равно нулю.

Таким образом, получили следующее выражение:

º
d LO	N		º º		º
----------	= ∑		ri , Fi		= MO внеш .	(4.11)
d t	i = 1

Данное уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения системы материальных точек или

уравнением моментов: скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна суммарному моменту внешних сил, действующих на нее.

Из выражения (4.11) следует, что если суммарный момент внешних сил, действующих на систему точек, равен нулю, то момент импульса такой системы остается постоянным. Это — закон сохранения момента импульса системы материальных точек. Изменить момент импульса системы могут не внешние силы, а их момент. Вспомним, что отсутствие внешних сил, действующих на систему, приводит к постоянству ее импульса (2.10).

Закон сохранения момента импульса есть следствие изотропии пространства относительно поворота осей координат: поворот осей координат не влияет на взаимодействие внутри системы тел. Докажем это. Повернем оси координат некоторой системы отсчета на

угол dºϕ . При этом i-я точка системы тел совершит перемещение

d ºri , причем в соответствии с (1.12) d ºri = dºϕ × ºri . Тогда можно сказать, что внешние силы, действующие на i-ю точку, совершили

º º	º	º	º	) .
работу δA = Fi d ri	. Поэтому δA = Fi	(d ϕ	× ri

52

Полученное выражение в математике носит название смешанного произведения векторов. Оказывается, оно обладает замечательным свойством:

º º	º	º º	º	) ,
a ( b	× c	) = b ( c	× a

т.е. круговая перестановка его сомножителей не меняет результат произведения. Поэтому

º	º º	º º	º	º º
δA = Fi	(d ϕ × ri	) = d ϕ ( ri	× Fi	) = d ϕ M .

Поскольку энергия системы при повороте осей координат не изменилась (не изменился характер взаимодействий в системе), то

º		º
		M = 0, а поэтому LO = const.
δA = 0. А поскольку d ϕ ≠ 0	, то

4.3. Момент импульса относительно оси

Рассмотрим вращение материальной точки вокруг оси OZ (рис. 4.5). Выбрав произвольный полюс на этой оси (точка О), най-

º

дем вектор lO — момент импульса данной точки относительно этого

полюса. Моментом импульса точки относительно оси OZ называется скалярная величина lz — проекция на данную ось момента импульса

точки относительно произвольного полюса, принадлежащего этой оси:

		º
lz = ПрOZ lO .			(4.12)
	º	2 º
Ранее (4.4) мы определили, что lOC= mrB			ω . Поэтому
l	= mr2	ω .	(4.13)
z	B	z

Z

ωlO

lO

v

r m

r

O

Рис. 4. 5

53

Подставив (4.13) в (4.8), получим:

	dlz	2	d ωz		N
	-------	= mrB	----------	=	∑ Mzi .	(4.14)
	d t		d t

i = 1

Вспомним определение углового ускорения и перепишем (4.14) в виде:

				N
			N	∑ Mzi
	2			i = 1
		=	∑ Mzi , или
	mrBεz			εz = ----------------- .
			i = 1	mrB2

Проекция углового ускорения материальной точки на ось вращения пропорциональна проекции на эту ось суммы моментов сил, действующих на точку. Коэффициентом пропорциональности в этом

соотношении выступает величина mr2B . Произведение массы мате-

риальной точки на квадрат расстояния точки до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

Iz = mrB2 ,

(4.15)

где индекс «z» указывает на выбранную ось. Момент инерции — скалярная величина, его размерность в СИ [Iz] = кг æм2.

Представим (4.14) в виде:

N
Izεz = ∑ Mz .	(4.16)

i = 1

Это иная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения материальной точки (4.8) в скалярном виде. Из этого соотношения следует физический смысл момента инерции.

Момент инерции — мера инертности материальной точки во вращательном движении, он определяет момент сил, который должен быть приложен к телу для придания ему определенного углового ускорения. Вспомним, что при рассмотрении поступательного движения мерой инертности тела выступает масса тела.

Введение понятия момента инерции позволяет (4.4) записать таким образом: lz = Iz ωz . Сопоставив это выражение с выражением

импульса материальной точки, можно также рассмотреть аналогию понятий: импульс — момент импульса, масса — момент инерции, скорость — угловая скорость.

54

4.4. Момент инерции твердого тела

Поскольку твердое тело представляет собой совокупность материальных точек, то при его вращении вокруг какой-либо оси уравнение (4.13) можно записать для каждой точки тела:

lz i = dmir2Bi ωz ,

где dmi — масса материальной точки, на которые разбивается твер-

дое тело. Здесь учтено, что при вращении твердого тела угловые скорости всех его точек одинаковы. Тогда, просуммировав эти выражения по всему телу, получим

N

Lz = ∑ lz i .

i = 1

Однако твердое тело — непрерывная совокупность материальных точек, т.е. при разбиении тела на отдельные фрагменты (элементарные массы) число таких фрагментов N → ×. Поэтому суммирование выражается в интегрировании элементарных моментов импульса dLz :

Lz =	∫	dLz	=	∫	rB2 dm	ωz = Iz ωz ,
	по массе			(M)
	тела
где rB — расстояние		от элемента массы				dm до оси вращения.

Откуда следует, что момент инерции твердого тела — это сумма моментов инерции отдельных материальных точек, его составляющих, вычисляемая по формуле

Iz = ∫ rB2 dm .	(4.17)
(M)

Таким образом, момент инерции обладает свойством аддитивности: момент инерции системы точек равен сумме моментов инерции каждой точки в отдельности. Кроме того, из (4.17) видно, что значение момента инерции для системы точек (и твердого тела в том числе) зависит от выбора оси вращения системы, т.е. от ее места расположения и ориентации в пространстве.

Для примера определим моменты инерции однородного длинного тонкого цилиндра при его вращении относительно разных осей. Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси вращения, проходящие

55

	Z	Z
	R
	dz	r
	z	dr
	L
		L
	Y
		Y
	X
		X
	Рис. 4. 6	Рис. 4. 7

через центр масс цилиндра массой М радиусом R и высотой L (рис. 4.6), причем L >> R.

При повороте цилиндра вокруг осей X и Y моменты инерции получатся одинаковыми, поскольку такие вращательные движения ничем не отличаются одни от другого. Для того чтобы воспользоваться формулой (4.17), разобьем цилиндр на точечные элементарные массы dm — одинаковые тонкие диски, параллельные основаниям цилиндра. Толщина дисков составит d z, а удаление диска от оси вращения z. Обозначив плотность цилиндра через ρ, определим

массу такого тонкого диска: dm = ρπR 2d z. При подобном разбиении rB = z. Тогда

					L ⁄	2
Ix = Iy = ∫ z2 dm = ∫								z2ρπR2 dz =
					(–L) ⁄ 2
	2	L ⁄	2	2			1			2		3
= ρπR		∫	z		dz =				ρπR		L		.
						12
						-----
		–L ⁄ 2
							2							1	2
Поскольку масса цилиндра M = ρπR L									, то Ix			= Iy =		-----	ML .
														12

Как видно, радиус цилиндра при его вращении вокруг этих осей не влияет на момент инерции, поэтому данная формула справедлива и для определения момента инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.

Для определения момента инерции цилиндра относительно оси Z разобьем исходный цилиндр на тонкие цилиндрические слои радиу-

56

сом r и толщиной d r (рис. 4.7). Масса такого слоя dm = ρL2πr d r . При подобном разбиении rB = r. Следовательно,

				R		ρL2πr dr =	1	πρLR	4		1		2
	Iz	= ∫ r	2	dm = ∫ r	2					=		MR		.
							2				2
							----				----
				0

Как следует из полученной формулы, длина цилиндра при его вращении вокруг продольной оси не влияет на момент инерции, поэтому данная формула справедлива и для определения момента инерции диска произвольной толщины при его вращении вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно основанию диска.

В последнем выводе мы использовали разбиение цилиндра на тонкие элементарные цилиндрические слои, причем момент инерции

такого слоя определялся как d I = r 2dm. Поэтому можно сказать, что момент инерции тонкой цилиндрической трубы относительно ее продольной оси составляет

Iz = MR 2.

Очевидно, что этим выражением можно пользоваться и для определения момента инерции тонкого кольца при его вращении вокруг своей оси.

Приведем без вывода формулу определения момента инерции шара радиусом R и массой М относительно оси, совпадающей с его любым диаметром:

			2			2
	Iz =	----		MR .
			5
Пример 4.1. Рассмотрим задачу о вращении тела. Пусть на мас-
сивный блок, выполненный в виде диска радиусом R и массой М и
закрепленный на оси, намотана нерастяжимая
невесомая нить, к концу которой привязан груз
массой т (рис. 4.8). Как определить ускорение								N	ε
груза при его движении вниз ?
Расставим силы, действующие на тела этой								M	MT
							º		Z
системы. На груз действуют сила тяжести m g и								R
º
сила натяжения нити T . На блок действуют								T	Mg
					º
º
	реакции				N		и сила
сила тяжести M g , сила
º								T
натяжения нити T . Уравнение второго закона
Ньютона для поступательного движения груза								m	a
º	º		+		º	. Блок не		mg
записывается в виде: m a	= m g				T
совершает поступательного движения, а враща-								Рис. 4. 8
ется вокруг оси.

57

Укажем на рис. 4.8, что направление оси Z — это направление вдоль оси диска «на нас». Тогда из всех сил, действующих на блок

º

момент относительно этой оси создает только сила T : MT = TR.

Поскольку другие силы проходят через ось вращения, то их плечи равны нулю. Заметим также, что вектор момента силы натяжения направлен «на нас» (предлагаем доказать это вам самостоятельно, используя определение векторного произведения). Кроме того, при ускоренном вращении блока в направлении против часовой стрелки,

º
вектор его углового ускорения ε	также направлен «на нас» (см.
	º		º
рис. 1.12). Таким образом проекции векторов MT		и	ε	на направление

выбранной оси Z положительны.

Основное уравнение динамики вращения для блока запишется следующим образом: MT z = Iz εz . Чтобы учесть связь линейного уско-

рения движения груза и углового ускорения блока, воспользуемся

º	º	º
соотношением (1.15): aτ	= ε	× r		. В результате таких рассуждений
получаем систему уравнений в векторном виде:
	º		º			+	º
	m a	= m g					T ;
	MTz = Izεz;
	º	º	×		º
	aτ =	ε				r ,
и скалярном виде
	ma = mg – T;
		1				2
	TR	----		MR			ε ;
		= 2
	a = εR.
									1		MRε ,
Из второго уравнения последней системы получаем T =									----
									2
							1
							----	Ma . Подставляя это
а с учетом третьего уравнения системы T = 2
											1
выражение в первое уравнение системы, находим ma = mg									–	----
											2 Ma .
								2m

Из этого уравнения находим ускорение груза: a = ------------------- g .

2m + M

58

Запишем в виде таблицы выражения, полученные для расчета моментов инерции различных тел, обладающих осью симметрии:

Тело	Расположение оси вращения Z				Параметры тела	Момент инерции
Кольцо	Z				Масса М,	Iz = MR				2
					радиус R
Диск,	Z				Масса М,			1			2
цилиндр					радиус R	Iz	=	----	MR
								2
Стержень	Z				Масса М,			1			2
					длина L	Iz	=	-----	ML
								12
Шар	Z				Масса М,			2			2
					радиус R	Iz	=	----	MR
								5

4.5.Теорема Гюйгенса—Штейнера

В§ 4.4 было дано определение момента инерции твердого тела относительно произвольной оси. Поскольку расположение оси вращения относительно тела может быть в общем случае произвольным, то моментов инерции у твердого тела может быть бесконечно много (в то время как масса — только одна). Мы также определили моменты инерции различных симметричных тел относительно осей вращения, проходящих через центр масс таких тел. Нельзя ли воспользоваться полученными результатами и связать момент инерции тела относительно произвольной оси с моментом инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс? Ответ на этот вопрос дает теорема Гюйгенса — Штейнера.

Рассмотрим твердое тело, способное вращаться вокруг оси Z, проходящей через точку С — центр масс тела (рис. 4.9). Допустим, что известен IzC — момент инерции тела относительно этой оси. Если мы

59

		a
C	y	O
Z	r	Z'	Y
x		R
	dm

X

Рис. 4. 9

хотим определить Iz′ — момент инерции тела при его вращении вок-

руг оси Z′, проходящей через точку О параллельно оси Z на расстоянии а от нее, то в целях его определения разобьем тело на элементарные точечные массы dт. Положение такой элементарной массы в изображенной на рис. 4.9 системе координат задается координатами x и y. Тогда, в соответствии с (4.17),

Iz′ = ∫ RB2 dm = ∫ [x2 + (a – y)2 ] dm =

MM

=∫ [x2 + y2 ] dm + ∫ a2 dm – 2 ∫ ay dm .

M M M

Рассмотрим последнее слагаемое полученного выражения. Вспомнив определение центра масс системы материальных точек (2.12), нетрудно увидеть, что yC — координата центра масс — опре-

1 N

деляется следующим образом: yC = ---- ∑ mi yi . Однако для твердого

M

i = 1

тела при разбиении его на материальные точки N → ×. Поэтому

1

yC = ---- ∫ y dm , а следовательно, ∫ y dm = MyC . Тогда

M M M

Iz′ = ∫ rB2 dm + a2 ∫ dm – 2a ∫ y dm = IzC + a2M – 2aMyC .

MM M

Поскольку в выбранной системе координат (рис. 4.9) yC = 0, то

I	= I	+ Ma2 .	(4.18)
z′	zC

Таким образом доказана теорема Гюйгенса — Штейнера:

момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и

60