- •1. Основные понятия тпр. Основные модели и методы тпр. Основные этапы процесса пр. Основные понятия тпр
- •Основные методы и модели тпр
- •Этапы принятия решений
- •2. Классификация задач пр
- •3. Принятие решений Типы задач, критериев и общая схема решения. Общие группы методов решения многокритериальных задач принятия решений. Типы зпр
- •Типы критериев
- •Общие группы методов решения многокритериальных задач принятия решений
- •Исходная информация
- •Метод группировки критериев – нормализация функции полезности
- •1. Метод равномерной оптимальности
- •2. Метод справедливого компромисса
- •3. Метод свертывания критериев (аддитивный критерий)
- •4. Метод главного критерия
- •5. Метод идеальной точки (метод равномерного сжатия, минимального отличия от идеала)
- •Матрица отклонений
- •6. Метод последовательных уступок
- •Метод последовательных уступок
- •5. Нормализация критериев в условиях полной определенности. Принципы максимальной эффективности и минимизации рисков.
- •Исходная информация
- •6. Постановка задач линейного программирования. Примеры, различные формы задач и подходы решения. Постановка задач линейного программирования
- •Примеры, различные формы задач и подходы решения
- •7. Множества решений неравенств, уравнений и их систем в задачах линейного программирования. Допустимые решения. Допустимые базисные решения.
- •8. Сведения из теории выпуклых множеств. Выпуклые множества в n-мерном пространстве.
- •9. Задача линейного программирования в канонической форме. Основные теоремы о множествах оптимальных решений этой задачи.
- •10. Геометрический метод решения задачи линейного программирования m X n. Пример для задачи m X 2 (на максимум и минимум).
- •11. Аналитический метод решения задачи линейного программирования m X n (симплекс-метод). Для задач на максимум и минимум.
- •16. Ситуации равновесия в игре. Понятие седловой точки. Чистые стратегии двух игроков.
- •17. Смешанные стратегии двух игроков в матричной игре. Выигрыши игроков в игре. Теорема Дж. Фон Неймана о ситуации равновесия.
- •18. Аналитическое решение игры 2´2. Геометрическое решение игры 2´2.
- •Решение игры в смешанных стратегиях геометрическим методом
- •Решение игры 2×2
- •Решение игр вида 2хn и mх2
- •19. Лемма о масштабе. Условия эквивалентности смешанных стратегий двух игр.
- •20. Свойства оптимальных смешанных стратегий в матричной игре.
- •25. Вполне смешанная игра. Решение матричной игры n´n методом обратной матрицы.
- •26. Сведение матричной игры n´m к двойственной задаче линейного программирования. Общий подход. Методика решения матричной игры n´m симплекс-методом.
- •27. Неантагонистические игры. Биматричные игры. Постановка задачи. Функции выигрышей.
- •28. Примеры биматричных игр: дилемма узников, семейный спор, перекресток, ястребы-голуби и др.
- •36. Принятие решений в статистических играх в условиях полной определенности. Статистические методы принятия решений. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, мм-критерий.
- •37. Принятие решений в статистических играх в условиях неопределенности. Статистические методы принятия решений. Критерии Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана.
- •38. Планирование эксперимента в статистических играх в условиях неопределенности.
- •39. Позиционные игры. Дерево решений. Позиционные игры с полной и неполной информацией. Информационное множество.
- •40. Нормализация позиционной игры. Привести общий пример для двухходовой позиционной игры с полной информацией.
- •41. Сведение позиционной игры к матричной в условиях неполной информации. На примере двухходовых и трехходовых игр.
- •42. Сведение позиционных игр к матричным и биматричным в условиях полной информации о стратегиях противника.
- •43. Позиционные игры со случайными ходами.
18. Аналитическое решение игры 2´2. Геометрическое решение игры 2´2.
Рассмотрим матричную игру, в которой каждый из игроков имеет по две чистые стратегии. В общем виде -игра определяется матрицей
.
Пусть X — произвольная смешанная стратегия игрока I. Если х — вероятность выбора игроком I своей первой чистой стратегии в условиях X, то вероятность выбора им второй чистой стратегии есть 1-х. Поэтому стратегию X можно представить в виде (х, 1-х). Аналогично если Y — произвольная смешанная стратегия игрока II, то она имеет вид (у, 1 -у). Таким образом, стратегия X однозначно определяется числом х, а стратегия Y — числом у. В соответствии с этим мы будем обозначать ситуацию (X, Y) как пару чисел (х, у). В силу предположения, что чистых оптимальных стратегий нет, х* > 0 и у* > 0.
Введем следующие обозначения:
. — i-я строка матрицы Н;
— j-й столбец матрицы Н.
На основании теоремы 17.7
и
или
(17.20)
и
(17.21)
Из систем (17.20) и (17.21) следует, что при столбцы (строки) матрицы Н не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица принимает следующий вид:
и игрок I (II) имеет чистую оптимальную стратегию, что противоречит предположению.
Следовательно, если и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, определитель матрицы Н отличен от нуля. Из этого следует, что системы уравнений (17.20) и (17.21) имеют единственное решение. Решая их, находим
(17.22)
Таким образом, для решения матричной - игры необходимо сначала проверить равенство (17.8). Если оно выполняется, то игроки имеют чистые оптимальные стратегии (игрок I — чистую максиминную, а игрок II — чистую минимаксную). В противном случае по формулам (17.22) следует найти оптимальные стратегии игроков и значение игры.
Пример. Решить игру
.
Прежде всего проверим наличие седловой точки (в чистых стратегиях). Имеем
и, следовательно, седловых точек нет. Перейдем к нахождению оптимальных смешанных стратегий и значения игры. Используя формулы (17.22), получим:
Таким образом, .
Пример. Используя доминирование, мы свели игру к эквивалентной игре (см. 17.5.1)с матрицей выигрышей
.
Так как, , седловых точек в чистых стратегиях нет.
Перейдем к нахождению решения в смешанных стратегиях. По формулам (17.22) имеем:
и, следовательно, .
Решение игры в смешанных стратегиях геометрическим методом
Пусть игра задана платежной матрицей . По оси абсцисс отложим единичный отрезок А1А2, где точка А1 (0, 0) изображает стратегию А1, А2 (1, 0) – стратегию А2, а каждая промежуточная точка SA этого отрезка изображает смешанную стратегию первого игрока PA = (p1, p2), где p1– расстояние от точки SA до A2, p2–расстояние от точки SA до A1. Выигрыш игрока A будем откладывать на вертикальных отрезках.
Случай 1. Если игрок B применит стратегию В1, то выигрыш игрока A при стратегии А1 равен а11, поэтому на оси ординат отложим отрезок А1В1 = а11. При применении игроком A стратегии А2 выигрыш равен а21, отложим этот отрезок на перпендикуляре из точки А2, обозначим полученную точку В1'. Ордината любой точки М1 отрезка В1В1′ равна среднему выигрышу игрока A при применении смешанной стратегии SA (действительно, этот выигрыш равен математическому ожиданию случайной величины, т.е. a11p1 + a21p2). Запишем уравнение прямой В1В1′: , т.е. y=a11+x(a21-a11), тогда при x = p2 получим y = a11 + p2a21 – p2a11 = a11(1-p2) + p2a21 = a11p1 + a21p2 Случай 2. Если игрок B применяет стратегию В2, то аналогично откладываем отрезки а12 и а22 и получаем отрезок В2В2′. Ордината любой точки М2 отрезка В2В2′ – выигрыш игрока A, если A применяет смешанную стратегию SA, а B – стратегию В2.
Построим нижнюю границу выигрыша игрока А – ломаную В1 NВ2′. Ординаты точек этой ломаной показывают минимальные выигрыши игрока А при использовании им любой смешанной стратегии. Оптимальное решение игры определяет точка N, в которой выигрыш игрока А принимает наибольшее значение. Ордината точки N равна цене игры. Проекция этой точки на ось ОХ показывает оптимальную стратегию (р1, р2). Аналогично находится оптимальная стратегия Q = (q1 , q2) игрока B, только в соответствии с принципом минимакса надо находить верхнюю границу выигрыша, т. е. строить ломаную А2NА1′ и брать точку N с наименьшей ординатой. Абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию игрока B, т. е. Q = (q1 , q2).
ПРИМЕР №1. Решить игру, заданную платежной матрицей , графоаналитическим способом. Решение. Нижняя цена игры α = 1,5, верхняя цена игры β = 2. Так как α≠β, седловой точки нет. Так как a1 = 1,5, a21 = 2 строим точки B1(0;1,5) и B2(1;2), соединяем их отрезком. Так как a21 = 3, a22 = 1 строим точки B2(0;3) и B2’(1;1), соединяем их отрезком.
Уравнение прямой В1В1′: , т. е. y = 0,5x + 1,5; уравнение В2В2′: , т. е. y = 3-2x. Найдем точку N пересечения прямых В1В1′ и В2В2′, для чего решим систему уравнений:
т. е. N(0,6; 1,8), откуда p2= 0,6; p1= 0,4; γ = 1,8 – цена игры. Аналогично строим точки А1(0; 1,5) и А1′(1;3), А2(0; 2) и А2′(1; 1) и находим точку M пересечения прямых А1А1′ и А2А2′.
Ответ: смешанная стратегия игрока А: PA= (0,4; 0,6), игрока В: QB = (0,8; 0,2); цена игры 1,8.
Видеоинструкция. Решение онлайн
ПРИМЕР №2. Решить матричную игру, в которой один из игроков имеет две чистые стратегии, или игру, которая сводится к таковой после отбрасывания доминируемых строк и столбцов. Для нахождения цены игры и оптимальной стратегии игрока, имеющего две чистые стратегии, применяется графический метод. Для другого игрока оптимальная стратегия ищется исходя из свойств оптимальных стратегий и цены игры. Список рекомендуемых для контрольной работы задач прилагается.