- •1. Основные понятия тпр. Основные модели и методы тпр. Основные этапы процесса пр. Основные понятия тпр
- •Основные методы и модели тпр
- •Этапы принятия решений
- •2. Классификация задач пр
- •3. Принятие решений Типы задач, критериев и общая схема решения. Общие группы методов решения многокритериальных задач принятия решений. Типы зпр
- •Типы критериев
- •Общие группы методов решения многокритериальных задач принятия решений
- •Исходная информация
- •Метод группировки критериев – нормализация функции полезности
- •1. Метод равномерной оптимальности
- •2. Метод справедливого компромисса
- •3. Метод свертывания критериев (аддитивный критерий)
- •4. Метод главного критерия
- •5. Метод идеальной точки (метод равномерного сжатия, минимального отличия от идеала)
- •Матрица отклонений
- •6. Метод последовательных уступок
- •Метод последовательных уступок
- •5. Нормализация критериев в условиях полной определенности. Принципы максимальной эффективности и минимизации рисков.
- •Исходная информация
- •6. Постановка задач линейного программирования. Примеры, различные формы задач и подходы решения. Постановка задач линейного программирования
- •Примеры, различные формы задач и подходы решения
- •7. Множества решений неравенств, уравнений и их систем в задачах линейного программирования. Допустимые решения. Допустимые базисные решения.
- •8. Сведения из теории выпуклых множеств. Выпуклые множества в n-мерном пространстве.
- •9. Задача линейного программирования в канонической форме. Основные теоремы о множествах оптимальных решений этой задачи.
- •10. Геометрический метод решения задачи линейного программирования m X n. Пример для задачи m X 2 (на максимум и минимум).
- •11. Аналитический метод решения задачи линейного программирования m X n (симплекс-метод). Для задач на максимум и минимум.
- •16. Ситуации равновесия в игре. Понятие седловой точки. Чистые стратегии двух игроков.
- •17. Смешанные стратегии двух игроков в матричной игре. Выигрыши игроков в игре. Теорема Дж. Фон Неймана о ситуации равновесия.
- •18. Аналитическое решение игры 2´2. Геометрическое решение игры 2´2.
- •Решение игры в смешанных стратегиях геометрическим методом
- •Решение игры 2×2
- •Решение игр вида 2хn и mх2
- •19. Лемма о масштабе. Условия эквивалентности смешанных стратегий двух игр.
- •20. Свойства оптимальных смешанных стратегий в матричной игре.
- •25. Вполне смешанная игра. Решение матричной игры n´n методом обратной матрицы.
- •26. Сведение матричной игры n´m к двойственной задаче линейного программирования. Общий подход. Методика решения матричной игры n´m симплекс-методом.
- •27. Неантагонистические игры. Биматричные игры. Постановка задачи. Функции выигрышей.
- •28. Примеры биматричных игр: дилемма узников, семейный спор, перекресток, ястребы-голуби и др.
- •36. Принятие решений в статистических играх в условиях полной определенности. Статистические методы принятия решений. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, мм-критерий.
- •37. Принятие решений в статистических играх в условиях неопределенности. Статистические методы принятия решений. Критерии Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана.
- •38. Планирование эксперимента в статистических играх в условиях неопределенности.
- •39. Позиционные игры. Дерево решений. Позиционные игры с полной и неполной информацией. Информационное множество.
- •40. Нормализация позиционной игры. Привести общий пример для двухходовой позиционной игры с полной информацией.
- •41. Сведение позиционной игры к матричной в условиях неполной информации. На примере двухходовых и трехходовых игр.
- •42. Сведение позиционных игр к матричным и биматричным в условиях полной информации о стратегиях противника.
- •43. Позиционные игры со случайными ходами.
Решение игры 2×2
Покажем на примере платёжной матрицы размерностью 2×2 реализацию алгоритма построения оптимального решения игровой задачи в смешанных стратегиях.
ПРИМЕР №3. Найдем решение матричной игры V* = -1, V* = 1, V* ≠V* - решения в чистых стратегиях не существует. Припишем строкам платёжной матрицы неизвестные вероятности p1 и p2 (вероятности выбора стратегий A1 и A2) соответственно: . Поскольку p1 + p2 =1 → p2 = 1 - p1. Обозначим p1 = p, тогда p2 =1 - p. В результате получим: Умножим столбец поэлементно на 1-й столбец и, сложив произведения, получим - математическое ожидание (среднее значение) выигрыша первого игрока A, при условии, что второй игрок B следует первой стратегии. M1(p) = 1∙p + (-1)(1-p) = 2p-1 Умножим столбец поэлементно на 2-й столбец и, сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание (средний выигрыш) игрока A при применении игроком B второй стратегии M2(p) = (-1)∙p + 1(1-p) = -2p+1 Поскольку мы разыскиваем оптимальное решение первого игрока A, которое не должно зависеть от выбора стратегий вторым игроком B, приравняем полученные зависимости средних выигрышей: 2p-1 = -2p+1 Отсюда, p= ½, 1-p = ½, то есть оптимальная смешанная стратегия игрока A - это P = (½, ½ ) (каждую из стратегий надо применять с относительной частотой ½). Подставив p=½ в любую из зависимостей Mi(p), i=1,2 найдем цену игры: V=Mi(½) = 0. Теперь припишем столбцам вероятности q1 и q2 соответственно, а поскольку: q1 + q2 =1 →q2 = 1 - q1. Обозначим q1 = q, тогда q2 =1 - q. В результате получим: . Умножив строку (q, 1-q) на 1-ю строку и сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание: W1(q) = 1· q + (-1) ·(1-q) = 2q - 1 Это средний выигрыш игрока A (равный проигрышу игрока B) при применении игроком A 1-й стратегии. Умножив строку (q, 1-q) на 2-ю строку и сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание: W2 = (-1) · q + 1· (1-q) = -2q + 1 Это средний выигрыш игрока A (равный проигрышу игрока B) при применении игроком A 2-й стратегии. Приравняем полученные зависимости: 2q -1 = -2q + 1 Отсюда, q = ½, 1 - q = ½, то есть оптимальная смешанная стратегия игрока B - это Q = (½, ½) (каждую из стратегий надо применять с относительной частотой ½). Решение о конкретном выборе одной из своих стратегий каждый из игроков может принимать с помощью подбрасывания монеты или бинарного датчика случайных чисел.
Как показывает приведённый пример, оптимальные смешанные стратегии сравнительно легко находятся для игр, имеющих небольшую размерность платёжной матрицы (небольшие m и n), т.е. для игр, в которых каждый из игроков имеет небольшое число стратегий. В то же время для игр, имеющих большую размерность, поиск решения становится достаточно сложным. Поэтому до построения оптимального решения в смешанных стратегиях проводят предварительный анализ платёжной матрицы на предмет её упрощения, исключения из неё дублирующих и доминируемых стратегий, что позволяет существенно упростить поиск решения игровой задачи в смешанных стратегиях.