19. Закон Пуассона.
При очень большом числе испытаний и ничтожно малой вероятности появления события при каждом испытании биномиальный закон распределения числа появления события превращается в закон Пуассона:
-
0
1
…
…
…
…
,
,
где
Покажем,
что
=1.
Действительно,
=1,
поскольку
ряд
является рядом Тейлора функции
Теорема
19.1. Для
закона Пуассона
,
.
Доказательство. Имеем:
=
Заметим, что то, что , согласуется с тем, что для биномиального закона
Для
вычисления дисперсии вычислим сначала
.
Имеем:
=
Здесь
мы использовали полученное при выводе
формулы для математического ожидания
равенство
Тогда
=
.
Заметим, что то, что , тоже согласуется с тем, что для биномиального закона
Действительно,
Поскольку
в законе Пуассона вероятность
предполагается
ничтожно малой, то, устремив
к нулю, получим, что
.
20. Геометрический закон распределения.
Пусть проводится серия независимых испытаний до первого появления события , причём при каждом испытании вероятность появления события одна и та же и равна . Пусть – число испытаний до первого появления события. Тогда закон распределения этой случайной величины называется геометрическим законом распределения. Этот закон имеет вид:
-
1
2
3
…
…
…
…
,
где
.
Действительно, обозначим через
появление события при
- том испытании. Тогда
.
Очевидно, что
.
Эти вероятности представляют собой геометрическую прогрессию. Поэтому
Теорема
20.1. Для
геометрического распределения
,
Доказательство. Имеем:
(20.1)
Продифференцировав обе части равенства
,
(20.2)
Получим:
.
(20.3)
Тогда из (20.1) и (20.3) получим:
.
Для получения формулы дисперсии вычислим сначала
(20.4)
Умножим обе части равенства (20.3) на :
.
Продифференцировав обе части последнего равенства, получим:
.
(20.5)
Из (20.4) и (20.5) получим:
=
.
Тогда
=
.
Формула
для математического ожидания предсказуема,
как и для биномиального закона
распределения. Действительно, если,
например, бросается игральная кость до
первого появления «пятёрки», то в среднем
понадобится шесть попыток:
