17. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Определение
17.1. Математическим
ожиданием дискретной
случайной величины
распределённой по закону
-
….
….
, называется число
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.
Приведём свойства математического ожидания.
Под
здесь и ниже подразумевается случайная
величина, которая принимает одно значение
с вероятностью 1. Доказательство
очевидно.
где
здесь и ниже является константой.
Доказательство
очевидным образом следует из определений
случайной величины
и математического ожидания.
Доказательство. Пусть случайные величины распределены по законам из определения 16.4. Тогда
Следствие 17.1. Свойство 3) справедливо для суммы любого числа случайных величин.
Если случайные величины независимы, то
Доказательство. Пусть случайные величины распределены по законам из определения 16.4. Тогда
Следствие 17.2. Свойство 4) справедливо для произведения любого числа взаимно независимых случайных величин.
Как было сказано, математическое ожидание является средним значением случайной величины. Другой важной числовой характеристикой случайной величины является дисперсия, характеризующая разброс значений случайной величины.
Определение 17.2. Дисперсией случайной величины называется число
,
то есть дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклоненияслучайной величины от своего математического ожидания.
Очевидно,
Справедлива следующая
Теорема 17.1.
.
(17.1)
Доказательство. Используя свойства математического ожидания, получим:
Часто дисперсию бывает удобно считать по формуле (17.1).
Приведём свойства дисперсии.
Доказательство.
.
Доказательство.
=
Если случайные величины
независимы, то
Доказательство.
.
Здесь было использовано, что если случайные величины независимы, то
=
.
Следствие 17.3. Свойство 3) справедливо для суммы любого числа взаимно независимых случайных величин.
Если случайные величины независимы, то
Доказательство.
+
.
Доказательство.
Поскольку
независимы, то
=
Определение
17.3. Средним
квадратическим отклонением
случайной величины
называется число
.
18. Биномиальный закон распределения.
Пусть проводится независимых испытаний, и при каждом испытании вероятность появления события одна и та же и равна (схема Бернулли). Пусть – случайная величина, число появления события при испытаниях. Её закон распределения называется биномиальным законом, или законом Бернулли.
Нетрудно понять, что этот закон имеет следующий вид:
-
0
1
…
…
,
где вероятности
вычисляются по формуле Бернулли, а
именно,
По
формуле бинома Ньютона получим:
.
Теорема
18.1. Для
биномиального закона распределения
Доказательство.
Введём
случайные величины
,
число появления события при -том
испытании. Очевидно, все они распределены
по одному закону, который имеет вид:
-
0
1
Тогда
,
Нетрудно
понять, что
.
Тогда по следствиям 17.1 и 17.3
Нетрудно
понять, что то, что для биномиального
закона
,
вполне предсказуемо. Действительно,
если, например, 12 раз бросается игральная
кость. И
- число выпавших «пятёрок», то здравый
смысл подсказывает, что наиболее
ожидаемо, что «пятёрки» выпадут в шестой
доле случаев, то есть два раза:
Рассмотрим пример (см.пример 15.1).
Пример 18.1. Четыре раза бросается монета. - число выпавших «гербов». Найти закон распределения случайной величины и её математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
Это
– биномиальный закон распределения с
вероятностью появления события при
каждом испытании
и
-
0
1
2
3
4
.
=
,
,
.
Таким образом, закон распределения
имеет вид:
-
0
1
2
3
4
Проверка:
Поскольку закон распределения является биномиальным, то
