Задача для самостоятельного решения.

Пусть генеральная совокупность распределена по нормальному закону с известным параметром Пусть объем выборки Найти доверительный интервал математического ожидания a с доверительной вероятностью =0,95, если среднее выборочное , где - номер студента по журналу.

7. Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.

Пусть имеется некоторая выборка случайной величины , закон распределения которой неизвестен. И по выборке мы хотим выяснить, совпадает ли функция распределения случайной величины с некоторой предполагаемой функцией распределения . В таком случае говорят о проверке статистической гипотезы согласия.

По наблюдениям выборки следует либо принять решение о совпадении функции распределения с функцией распределения , либо отвергнуть эту гипотезу.

Обозначим через гипотезу о том, что , а через - противоположную (конкурирующую) гипотезу о том, что хотя бы при одном значении

Поскольку наблюдения выборки случайны, то нужно осознавать, что можно ошибочно отвергнуть верную гипотезу или, наоборот, принять неверную гипотезу. Первая из этих двух ошибок называется ошибкой первого рода. А вторая – ошибкой второго рода.

Для определённости будем предполагать, что верна гипотеза

Тогда вероятность отвергнуть верную гипотезу называется вероятностью ошибки первого рода.

Вероятность принять неверную гипотезу называется вероятностью ошибки второго рода.

Правила, по которым принимаются решения о справедливости гипотез, называются критериями согласия или просто критериями.

Мы здесь остановимся на критерии Колмогорова.

Построим эмпирическую функцию распределения по наблюдаемой выборке

объёма :

.

Нам понадобятся две теоремы.

Теорема 7.1. (Гливенко). Если - эмпирическая функция распределения выборки , а - истинная функция распределения непрерывной случайной величины , то

Теорема 7.2. (Колмогоров). Пусть

(функция Колмогорова). Пусть - эмпирическая функция распределения случайной выборки объёма непрерывной случайной величины с функцией распределения .Тогда для любого имеет место равенство

Смысл теоремы Колмогорова состоит в том, что при больших случайная величина

имеет функцию распределения, приблизительно равную функции Колмогорова . Поэтому для произвольно малого числа можно выбрать число такое, что Из этого следует, что неравенство

выполняется с вероятностью, близкой к

Положим

.

Согласно сказанному выше, функция является хорошей оценкой истинной функции распределения . Поэтому величина является мерой различия между истинной функцией распределения и предполагаемой функцией распределения Функция называется статистикой Колмогорова. По теореме Колмогорова, если

то

По таблице значений функции Колмогорова для достаточно малого числа можно найти такое значение , что

Критерием Колмогорова называется следующее правило: если , то принимается гипотеза , то есть считается, что Если же , то принимается гипотеза , то есть считается, что . При таком правиле вероятность отвергнуть верную гипотезу равна

=

Пусть теперь верна гипотеза , то есть Тогда, поскольку по теореме 1 при стремится к равномерно, то

Из этого следует, что

.

И, следовательно, для любой константы

Положим и введём обозначение Тогда

Но при число –это вероятность принять гипотезу при условии, что верна гипотеза , то есть вероятность ошибки второго рода. При увеличении объёма выборки эта вероятность становится сколь угодно малой при выбранном .

63