4. Точечные оценки.

Выше было сказано, что по результатам исследования выборочной совокупности делаются выводы о всей генеральной совокупности.

Предположим, оценивается некоторый параметр генеральной совокупности, скажем среднее значение, по соответствующему параметру выборочной совокупности. осуществляя различные выборки, мы будем получать, вообще говоря, различные значения этого параметра. Чтобы оценка была корректной, она должна удовлетворять определенным критериям. Одним из этих критериев является несмещенность оценки.

Оценка некоторого параметра называется несмещенной, если её математическое ожидание (по различным выборкам) равно значению этого параметра всей генеральной совокупности.

Можно доказать, что среднее значение является несмещенной оценкой.

А вот дисперсия является смещенной оценкой. Если - дисперсия генеральной совокупности, - дисперсия выборочной совокупности, а n - объем выборки, то

= .

Поэтому вводят так называемую исправленную дисперсию

.

Очевидно, что исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

Оценки, которые определяются одним числом, называются точечными.

Приведенные выше оценки являются точечными.

Задача для самостоятельного решения.

Пусть статистический ряд выборочной совокупности имеет вид:

	-k	0	1	2	3
n	2	4	7	5	2

где k - номер студента по журналу.

Найти эмпирическую функцию распределения и исправленную дисперсию.

5. Интервальные оценки.

Недостатком точечной оценки является то, что для каждой конкретной выборки, даже если она несмещённая, значение полученного параметра может существенно отличаться от его значения для генеральной совокупности.

Оценка, задающаяся двумя числами - концами интервала, в который с некоторой вероятностью попадает оцениваемый параметр, называется интервальной оценкой.

Объясним подробнее. Пусть - значение оцениваемого параметра генеральной совокупности, а - значение оценки этого параметра, полученного по выборке.

Предположим, что удалось доказать, что вероятность того, что с некоторой достаточно большой вероятностью , называемой доверительной вероятностью, попадает в интервал , то есть = . Тогда этот интервал называется доверительным интервалом.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении

Пусть из некоторых соображений известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с известным параметром и нужно найти по среднему значению выборки объёма n доверительный интервал c доверительной вероятностью для математического ожидания a.

Оказывается, что границы интервала определяются из формулы

=

Поясним: из равенства по таблице интегральной функции Лапласа определяется значение t, после чего вычисляются границы интервала и