12. Отклонение относительной частоты появления события от вероятности при повторении испытаний.

Пусть в условиях предыдущего пункта при проведении испытаний событие появилось раз. Выясним, какова вероятность справедливости неравенства , то есть отклонения относительной частоты от вероятности появления события при одном испытании не более, чем на заданную величину

Очевидно, неравенство равносильно неравенству . Положим , (будем считать, что - натуральные числа).Тогда из (11.6) получим:

,

Откуда в силу нечётности функции окончательно получим:

(12.1)

В силу свойств интегральной функции Лапласа из формулы (12.1) следует, что для любого фиксированного при неограниченном увеличении числа испытаний вероятность стремится к единице.

13. Решение типовых задач.

В этом пункте разберём ряд задач в дополнение к задачам, рассмотренным выше.

Пример 13.1.Три баскетболиста производят по одному броску по кольцу. Вероятности попадания у каждого из них соответственно равны 0,6, 0,7, и 0,8. Найти вероятности того, что: а) все трое попадут в кольцо; б) ; в) ровно двое попадут в кольцо; г) хотя бы один попадёт в кольцо.

Решение. Введём алгебру событий. ,

, .

Тогда:

а) . Поскольку события независимы, то

б) . Поскольку слагаемые в правой части этого равенства несовместны, а в каждом слагаемом сомножители независимы. То

.

в) . Поскольку слагаемые в правой части этого равенства несовместны, а в каждом слагаемом сомножители независимы. То

.

г) . Поскольку слагаемые в правой части этого равенства совместны и независимы, то (см. (7.6))

Пример 13.2.В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. а) Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). б) Извлечённый из урны шар оказался белым. Найти вероятность того, что в урне первоначально не было белого шара.

Решение. Введём гипотезы:

Введём событие .

Из условия задачи следует, что .

Очевидно, что ,

а) Тогда по формуле полной вероятности

=

б) По формуле Байеса

.

Пример 13.3. Найти вероятность того, что не умеющий читать ребёнок, раскладывая случайным образом (последовательно) карточки с буквами К, К, Л, Л, О, О, О, сложит слово КОЛОКОЛ.

Решение. На первое место будет выбрана буква К с вероятностью . На второе место будет выбрана буква О при условии, что на первое место была выбрана буква К, с вероятностью . Продолжая рассуждать дальше аналогичным образом, по формуле умножения вероятностей для зависимых событий, получим:

.

Пример 13.4. Найти вероятность того, что все четверо пассажиров, ожидающих на остановке одного и того же автобуса, войдут в одну и ту же дверь трёхдверного автобуса. Вход каждого из них во все три двери автобуса считается равновероятным.

Решение. Обозначим через , вход каждого из пассажиров в -тую дверь. Тогда событие описывается следующим образом:

.

Очевидно, что слагаемые в правой части этого равенства несовместны, а сомножители в каждом слагаемом независимы.

Поскольку по условию , то

.

Пример 13.5. Стрелок, имеющий четыре патрона, стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что будет произведено: 1) три выстрела; 2) четыре выстрела.

Решение. Обозначим через событие состоящее в том, что стрелок поразил мишень при k-том выстреле, Тогда:

1)

. Поскольку сомножители в правой части этого равенства независимы, то

2) . Поскольку сомножители в правой части этого равенства независимы, то