Элементы математической статистики

1.Статистический ряд распределения. Числовые характеристики количественного признака.

Пусть имеется некоторая совокупность объектов объёма N (число объектов).

Пусть изучается некоторый количественный признак X (длина, вес, возраст..) объектов этой совокупности.

Пусть значения признака X встречаются раз,

Числа называются частотами, соответствующими значениям .

Очевидно,

Как правило, объём всей совокупности, называемой генеральной совокупностью, бывает очень большим, и по этой причине её исследование бывает затруднительным, а то и невозможным. По этой причине осуществляют выборку объектов меньшего объема и изучают эту выборочную совокупность.

Математическая статистика обосновывает, насколько и в каком смысле результаты исследования выборочной совокупности можно относить ко всей генеральной совокупности.

Все сказанное ниже можно относить как к генеральной, так и к выборочной совокупности.

Следующая таблица

X			...
n			...

называется статистическим рядом распределения частот.

Числа называются относительными частотами, а таблица

X			...
w			...

называется статистическим рядом распределения относительных частот.

Очевидно,

Напомним, что относительная частота называется статистической вероятностью, и в каком-то смысле она приближает истинную вероятность (теорема Бернулли).

Статистический закон распределения относительных частот является аналогом закона распределения дискретной случайной величины.

Средним значением признака X называется число

= ,

которое является аналогом математического ожидания дискретной случайной величины.

Дисперсией называется число

= =

Справедлива

Теорема 1. , где = .

2. Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения количественного признак X называется функция

.

Если предполагать, что среди значений выборки могут быть равные, а частота каждого из значений равна единице, то эмпирическую функцию распределения можно представить в виде:

Суммирование производится по тем , для которых .

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения дискретной случайной величины.

3. Полигон и гистограмма.

Если на плоскости с декартовыми координатами X и Y откладывать точки с координатами , а затем соединить их отрезками прямой, то полученная ломанная называется полигоном частот.

Если частоты заменить на относительные частоты, то полученная ломанная соответственно называется полигономотносительных частот.

Если значения признака расположены очень густо, то строят так называемую гистограмму. Для этого весь интервал, в котором расположены все наблюдаемые значения признака, разбивают на равные частичные интервалы длины h и вычисляют для каждого частичного интервала сумму частот попавших в -тый интервал. По ординате для всех значений x из -того интервала откладывают значение (плотность частот). Полученная ступенчатая фигура называется гистограммой частот. Очевидно, что площадь полученной фигуры равна объёму совокупности.

Аналогичным образом, откладывая по ординате значение для x из i-того интервала, строят гистограмму относительных частот. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.