Задача для самостоятельного решения.

Построить функцию распределения случайной величины распределенной по закону

	1	2	4	5
	0,4	0,1	0,2	0,3

23.1. Непрерывные случайные величины.

Определение 23.1. Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна.

Вероятность попадания в заданный интервал вычисляется по формуле:

(23.1)

Определение 23.2. ПустьX – непрерывная случайная величина, и её функция распределения , к тому же, кусочно-дифференцируема.

Тогда плотностью распределения вероятности этой случайной величины называется функция

Вероятностный смысл плотности вероятности.

Плотность вероятности – это вероятность, приходящаяся на единицу длины.

Действительно, по формуле Ньютона – Лейбница и теореме о среднем получим:

,

где - некоторая точка между точками и ( . Но тогда

.

Свойства плотности вероятности:

1)

(нормировочное условие). (23.2)

Свойство 1) следует из того, что поскольку функция является неубывающей, то

Если задана плотность вероятности , то функция распределения вероятности находится по формуле:

(23.3)

Действительно,

.

Если в последнем равенстве устремить к , то в силу свойства 3) функции получим (23.3).

Вероятность попадания в заданный интервал вычисляется по формуле:

(23.4)

Действительно, (см. (23.1).

Если в последнем равенстве устремить к , а к , то в силу свойств 3) функции получим нормировочное условие 2).

Заметим, что справедливость нормировочного условия можно объяснить и из тех соображений, что плотность вероятности – это вероятность, приходящаяся на единицу площади, а интеграл - это вся вероятность, распределённая по всей числовой оси, а вся вероятность равна единице. Нормировочное условие – это аналог того, что для дискретной случайной величины сумма вероятностей всех возможных значений равна единице.

Определение 23.3. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется

, (23.5)

если этот интеграл сходится.

Соответственно

.

Определение 23.4. Дисперсией непрерывной случайной величины X называется

.

Для непрерывной случайной величины, также как для дискретной, справедлива

Теорема 23.1.

(23.6)

Пример 23.1. Пусть

Найти: .

Решение. Константу c найдём из нормировочного условия (23.2).

.

Найдём по формуле (23.3).

1) Пусть Тогда

2) Пусть Тогда .

3) Пусть Тогда =1.

Получили:

В конце следует проверить, является ли полученная функция непрерывной, то есть функция равняется ли нулю при , и единице – при Это выполнено.

Вычислим математическое ожидание.

.

Вычислим

=5.

Вычислим дисперсию по формуле (3.6).

.

По формуле (3.1) получим:

.