Решение. Брус находится в равновесии под действием трёх сил: силы тяжести, силы реакции опоры D и силы реакции опоры

А.

Опора D – угол (ребро). Сила реакции этой связи направлена перпендикулярно брусу.

Опора А – шарнирная неподвижная. Сила реакции этой связи лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (в плоскости рисунка), направление неизвестно.

Теорема о трёх силах позволяет найти
направление этой силы. Для этого проведём
линии действия сил P и RD . Они пересе-
каются в точке К. Так как на тело действуют
три силы, они не параллельны и лежат в
одной плоскости, то, согласно теореме,
линия действия третьей силы также пройдёт
через точку К, рис. 11.	Рис. 11 31

Направление этого вектора найдём, если построим силовой треугольник, рис. 12.

Рис. 12

Как видим, применение теоремы о трёх силах позволяет составить расчётную схему к задаче. Числовые значения можно получить графическим, графоаналитическим или аналитическим способами.

32

Задание № 2. Решить задачи 5 6 графическим или графо- аналитическим способом с применением теоремы о трёх силах.

5. Однородный стержень АВ прикреплён к вертикальной стенке посредством шарнира А и удерживается под углом 60 к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30 .

Определить величину и направление реакции RA шарнира, если известно, что вес стержня равен 20 Н, рис. 13 Ответ: R = 10 Н (R, AC) = 60o

6. Оконная рама АВ, изображённая на рис. 14 в разрезе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза.

Найти реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен к середине С рамы и АD =

ВD.	Ответ: RA = 70,4 Н RB = 31,5 Н

Рис. 13

Рис. 14

33

7. Балка АВ поддерживается в горизонтальном положении стержнем СD; крепления в А, С, и D шарнирные.

Определить реакции опор А и D, если на конце балки действует вертикальная сила F = 5 кН. Размеры указаны на

рисунке. Весом пренебречь, рис. 15.

Ответ: RA = 7,9 кН RD = 10,6 кН

Рис. 15 Рис. 16 8. Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А. Концом В она

положена на катки. В середине балки, под углом 45 к её оси, действует сила Р = 2 кН, рис. 16.

Определить реакции опор, взяв размеры с рисунка и прене- брегая весом балки, рис. 16.

Ответ: RA = 1,58 кН RB = 0,71 кН34

3.4. Аналитический способ

Порядок решения задачи аналитическим способом следующий:

1)выполнить рисунок и записать краткое условие задачи; 2)составить расчётную схему; 3)составить уравнения равновесия; 4)из уравнений найти неизвестные.

Пример 3. Тяжёлый шар весом Р подвешен на стержне АВ, прикреплённом к шару и к неподвижной точке А шарнирами, и удерживается в отклонённом положении горизонтальной силой Q, рис. 17.

Найти, какой угол образует стержень с верти- калью при равновесии, и чему при этом равна реакция стержня. Весом стержня пренебречь.

Рис. 17

3516

Решение. Запишем данные к задаче и выполним рисунок. Дано: Р, Q; Стержень АВ – невесомый. Найти: , RА.

Составим расчётную схему, рис. 18.

Запишем уравнения равновесия. Шар находит- ся в равновесии под действием плоской системы

сходящихся сил: P, Q, RA поэтому запишем	два
уравнения равновесия:
n
Fkx Q RA sin 0;	Рис. 18
n
k 1
Fky P RA cos 0;
k 1

Неизвестные величины найдём из полученных уравнений:

sin Q / RA;		cos P / RA;
tan = Q/P;	= arctan Q/P;
sin2 Q2 / RA2 ;		cos2 P2 / RA2.

36

После сложения левых и правых частей этих выражений, получим: RA Q2 P2 .

Задание 3. Решить задачи 9 12 аналитическим способом.

9. На рисунке схематически изображены стержни, соединённые между собой и стеной посредством шарниров. К шарнирному болту F подвешен груз Q = 1000 Н. = 30o

Определить усилия в стержнях, рис. 19. Ответ: S1 = 577 Н S2 = -1154 Н

10. Электрическая лампа весом 20 Н подвеше- на к потолку на шнуре АВ и затем оттянута к стене верёвкой ВС.

Определить натяжения: ТА шнура АВ и ТС

верёвки ВС, если известно, что угол =		60 , а
угол = 135 . Весом шнура и верёвки пренебречь,
рис. 20.	Ответ: TA =14,6 Н TC	= 10,35 Н

Рис. 19

Рис. 20

37

	11. К верёвке АВ, один конец которой
	закреплён в точке А, привязаны в точке В груз
	Р и верёвка ВСD, перекинутая через блок; к
	концу её D привязана гиря Q веса 100 Н, рис.
	21.
	Определить, пренебрегая трением на
	блоке, натяжение Т верёвки АВ и величину
	груза Р, если в положении равновесия углы,
	образуемые верёвками с вертикалью ВE,	Рис. 21
	равны: = 45 ; = 60 .

Ответ: T = 122 Н P = 137 Н

38

12. Груз Р = 20 кН поднимается магазинным краном ВАС посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D, который укреплён на стене так, что угол САD = 30 . Углы между стержнями крана: АВС = 60 , АСВ = 30 . Определить усилия Q1 и Q2 в

стержнях АВ и АС, рис. 17.

Рис. 22

Ответ: Q1 = 0 Н Q2 = -34,6 Н

39

Если на тело действует пространственная сходящаяся система сил, то задачи всегда решаются аналитическим способом, то есть, с помощью системы уравнений равновесия

(2).	n	n	n
	Fkx 0;	Fky 0;	Fkz 0;	(2)
	k 1	k 1	k 1

В уравнения входят проекции сил на оси в пространстве. Чтобы вычислить проекции этих сил довольно часто приходится прибегать к процедуре так называемого двойного проецирования.

Чтобы найти проекцию вектора на ось этим способом, вначале необходимо спроецировать вектор на плоскость, в которой лежит ось, а затем полученную проекцию спроецировать на эту ось.

Пример определения проекций силы на оси методом двойного проецирования показан на рис. 23.

40

F' F cos ;

Fx F' cos F cos cos ; Fy F' sin F cos sin .

Рис. 23

Из рисунка следует, что проекцией данного вектора на плоскость является вектор, заключённый между основаниями перпендикуляров, опущенных на эту плоскость из начала и конца вектора.

41