Решение задач типового варианта

1.Доказать, что

Решение: Так как а= =, (), то

2. Наугад указывается месяц и число некоторого не високосного года. Какова вероятность, что это будет воскресенье, если всего в этом году 53 воскресенья, а соответствие чисел дням недели неизвестно.

Решение: задача равносильна случайному извлечению шара из урны в которой шары 7 цветов (каждый цвет соответствует какому либо дню недели). Пусть «воскресенье» - это шары красного цвета, их в урне 53 по условию, а всего в урне 365 шаров (год – не високосный). По формуле классической (частотной) вероятности искомая P = 53 ⁄ 365.

3. Из колоды в 32 карты берётся наугад 10 карт. Найти вероятность того, что среди них будет восемь одномастных.

Решение: Всех выборов с восьмью картами данной масти возможныразных выборов двух карт других мастей, т.е., с учётом того, что всего 4 масти,.

4.Стержень длины l сломали на три части, случайно выбирая место разлома. Найти вероятность того, что из получившихся обломков можно сложить треугольник.

Решение: Пусть x, y и (l – x – y) – длины получившихся частей стержня. Очевидно, выполняется условие – область, ограниченная осями координат и прямой. Площадь этой области. Для того, чтобы из обломков можно было составить треугольник, необходимо выполнение неравенств:. Точки (x, y), удовлетворяющие этим неравенствам, лежат в треугольнике, образованном прямыми , площадь которого равна. Вероятность интересующего нас события равна.

5. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, большей , ожидать сумму очков, равную 12 хотя бы один раз?

Решение: Пусть A – событие, состоящее в выпадении суммы очков равной 12. Очевидно, вероятность этого события . Тогда вероятность дополнительного кA события . Вероятность того, что приn бросаниях пары костей, ни один раз не выпадет в сумме 12 очков, равна . СобытиеB, состоящее в том, что сумма в 12 очков выпадет хотя бы один раз, является дополнением события . Его вероятность равна, где неравенство задано условием задачи. Из этого неравенства следует

6. Из чисел 1, 2, …, n одно за другим выбираются наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между выбранными по порядку числами будет не меньше m (m > 0). Какова вероятность извлечения первым числа k (k = m + 1, …, n)

Решение: событие А состот в том, что разность между первым вынутым числом k и вторым вынутым числом l будет не меньше m (то есть k – l ≥ m). Гипотезы H_k – первым вынуто число k (k = m + 1, …, n); ;

.

7. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три партии из шести или пять партий из десяти? 2) не менее трёх партий из шести или не менее пяти партий из десяти?

Решение: 1) , т.е. три партии из шести выиграть более вероятно.

2)

Так как , то выиграть 3 партии из 6 более вероятно, чем 5 из 10.

8. Если в среднем левши составляют 1% населения, какова вероятность того, что среди случайно отобранных 200 человек 1) окажется ровно четверо левшей; 2) найдётся не менее четырёх левшей.

Решение: Здесь применима схема независимых испытаний Бернулли с n = 200 и вероятностью «успеха» (человек оказался левшой) p = 0,01. Так как n велико, а p мало так, что λ = np = 2 < 10, то применима асимптотика Пуассона:

1); 2)

=.

9. При 14000 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Как вероятно такое или ещё большее уклонение числа выпадений герба от np (монета симметрична и p = 1/2)?

Решение: Здесь необходимо применить формулу для отклонений частоты наступления события от вероятности наступления этого события в отдельном испытании в серии независимых испытаний (1.9) или интегральную теорему Муавра – Лапласа (1.7 – 1.8):

n = 14000, np = 7000, m = 7228, =