2.6 Характеристические и производящие функции и их свойства.

В некоторых случаях по функции распределения или функции плотности вероятностей случайной величины можно построить некую функцию , для которой моменты распределения служат коэффициентами при разложении её в ряд по степеням t. В соответствии с этим свойством такие функции называются производящими функциями моментов (сокращённо – п.ф.м.). Требуемыми свойствами для любого распределения F(x) удовлетворяет функция

(2.31)

представляющая собой преобразование Лапласа распределения случайной величины ξ.

Для многих распределений интеграл или сумма в (2.31) при действительных значениях t не существуют, т.е в общем случае t является комплексной переменной. Поэтому более полезной вспомогательной функцией является так называемая характеристическая функция (сокращённо – х.ф.) случайной величины ξ, определяемая как математическое ожидание случайной величины – мнимая единица, т.е.

(2.32)

Если функция распределения F(x) имеет плотность f(x), то характеристическая функция случайной величины представляет собой преобразование Фурье для плотности вероятности: , причём справедливо и обратное преобразование

, (2.33)

что говорит о существовании между f(x) и φ(t) соотношения двойственности.

С в о й с т в а х а р а к т е р и с т и ч е с к и х ф у н к ц и й

1. Соответствие между множеством функций распределения и множеством характеристических функций, задаваемое формулой (2.32), является взаимно однозначным (теорема единственности) и непрерывным (предельная теорема Леви). В частности для непрерывных дифференцируемых функций распределения

;

.

2. Характеристическая функция φ(t) случайной величины ξ определена для любого t ∈ (-∞, ∞), причём

3. При изменении знака аргумента характеристическая функция меняется на комплексно – сопряжённую: .

4. Если случайные величины связаны соотношением то

5. Если ξ₁, ξ₂, …, – независимые случайные величины и ξ = (ξ₁, ξ₂, …, ) – случайный вектор, то

, (2.34)

что следует из определения характеристической функции многомерного распределения F(x₁, x₂, …, x_n):

. (2.35)

6. Если имеется распределение F(x) случайной величины ξ и некоторая функция η = f(ξ), то её характеристическая функция определяется формулой

, (2.36)

причём плотность распределения g(y) случайной величины η определяется с помощью величины φ_η(t) и соотношения (2.34).

7. Если ξ₁, …, ξ_n – независимые случайные величины и ξ =, то и в этом случае справедлива формула (2.34), поскольку композиция (свёртка) плотностей при прямом преобразовании Фурье переходит в произведение характеристических функций, соответствующих этим плотностям.

8. Характеристическая функция частного распределения любой группы k < n случайных величин, выбранных из ξ₁, …, ξ_n , получается из , если положитьt_i =0 для всех (n – k) остальных, т.е. .

Обозначая символом дифференциальную операцию и применяя её к характеристической функции можно получить начальный момент порядкаr:

(2.37)

если только существует. В частности, если существуетMξ, то Mξ = ; если существуетDξ, то Dξ = .

Смешанные моменты порядкаk=k₁+ k₂+ …+ k_n для целых индексов можно вычислить аналогично, используя многомерную характеристическую функцию (2.35):

, где t = 0 означает t₁ = 0, t₂ = 0, …, t_n = 0.

Если ввести в рассмотрение , то входящие в это разложение в качестве коэффициентов семиинварианты вычисляются с помощью характеристической функции по формуле:

. (2.38)

Те же величины можно аналогично получить и с помощью производящих функций, но производящие функции существуют только в случае существования всех моментов, а характеристические функции – всегда.

П р и м е ры х а р а к т е р и с т и ч е с к и х ф у н к ц и й и

м о м е н т о в н е к о т о р ы х р а с п р е д е л е н и й

А) Д и к р е т н ы е

1°Биномиальное (Бернулли): ,

;

2° Пуассона: ,

3° Отрицательное биномиальное (при n = 1 – геометрическое или

Фарри): ;

4° Равномерное:

Б) Н е п р е р ы в н ы е

1° Равномерное (прямоугольное):

2° Экспоненциальное (показательное):

;

3° Нормальное (Гауссовское):

4° Коши:

ν_k и μ_k – не существуют ни при каких k.

5° Хи – квадрат (Пирсона):;

при k = n/2 – 1 и λ = ½ – распределениеЭрланга:, где гамма – функция Γ(q) определяется соотношением: для распределения Пирсона идля распределения Эрланга.

П р и м е р ы м н о г о м е р н ы х р а с п р е д е л е н и й

• многомерное нормальное распределение:

плотность где –

– значение векторной случайной величины ;

; =

=– ковариационная матрица компонент вектора,– обратная матрица, знак “Т ” означает операцию транспонирования;

характеристическая функция .

• многомерные обобщения биномиального и пуассоновского распределений:

пусть имеется N множеств объёма п каждое, элементы которых излечены

из разных генеральных совокупностей и вероятности p_j, j = 1, …, n определяют долю элементов этих совокупностей, обладающих некоторым качеством ; вероятность обнаружить в любом из множеств т элементов, обладающих этим качеством, получается как член разложения в ряд выражения ;

характеристическая и кумулянтная функции выражаются формулами

; матожидание и дисперсия определяются выражениями

, где ;

при условии получаем обобщённое пуассоновское распределение схарактеристической функцией