3.9. Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz

А =

3.10. Кинетическая энергия при плоском движении твёрдого тела:

,

где - скорость центра масс тела,- момент инерции тела относительно на оси, проходящий через центр масс тела.

Примеры решения задач

Пример 1. Точка движется вдоль оси Х так, что координата х с течением времени изменяется согласно уравнению х=A+Bt+Ct², где А=3 м, В=2 м/с,

С =1 м/с². Найти среднюю скорость тела за первую и вторую секунды движения.

Дано: х =A+Bt+Ct²; А=3 м; В=2 м/с; С=1 м/с².

Найти: _ср1, _ср2.

Решение. По определению средняя скорость тела – это отношение пути, пройденного телом за время t, к величине этого промежутка времени:

.

Выясним, меняет ли точка направление движения в данные интервалы времени. Для этого найдем проекцию мгновенной скорости на ось х:

.

Получили, что во все моменты времени , направление движения точки не меняется.

Путь, пройденный телом за первую секунду:

,

где и- координаты точки в моменты времении.

В нашем случае t₀=0 c, t₁=1с, следовательно, путь ΔS₁:

м

Средняя скорость за первую секунду:

м/с.

Аналогично путь, пройденный телом за вторую секунду:

м.

Средняя скорость за вторую секунду:

м/с.

Ответ:3 м/с, 5 м/с.

Пример 2. Небольшое тело брошено со скоростью υ₀ = 10м/с под углом 45⁰ к горизонту.

Найти радиус кривизны траектории тела через 1с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: = 10 м/с;; t= 1 с.

Найти: R.

Решение: Будем рассматривать движение тела в прямоугольной системе координат xoy, считая тело материальной точкой.

Рис.4 Рис.5

Движение тела происходит в поле силы тяжести, роль полного ускорения выполняет ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, т.е.

.

Сопротивление воздуха отсутствует, поэтому проекция вектора скорости на осьox постоянна :

. (1)

Проекция скорости на ось oy меняется вследствие действия силы тяжести:

. (2)

В верхней точке траектории , поэтому в момент времениt₁, когда тело достигает высшей точки траектории:

,

с.

Так как t₁<t, следовательно, тело прошло высшую точку траектории и находится на спуске, например в точке А (рис.4, 5).

Полное ускорение тела в точке А равно ускорению свободного падения , направлено вертикально вниз и перпендикулярно проекции скорости . Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости . Из подобия треугольников Аа_ng и следует:

или . (3)

В тоже время:

. (4)

Приравняв соотношения (3) и (4), получим:

. (5)

Следовательно, для нахождения радиуса кривизны траектории необходимо найти скорость тела в момент времени t.

Модуль скорости выразим через ее проекции , :

, (6)

определяемые по формулам (1) и (2):

. (7)

Вычислим скорость , используя формулу (7) и радиус R по фомуле (5):

м/с.

м.

Ответ: м.

Пример 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m_n в тысячу раз меньше массы шара m_ш. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули при условии, что стержень с пулей отклонился от вертикального положения от удара пули на угол 10⁰.

Дано: ; ; l = 1 м.

Найти: .

Решение. Пусть в момент удара шар находился в положении D. В результате взаимодействия с пулей шар поднялся на некоторую высоту h = СD. Полагая шар материальной точкой,

можно записать на основании закона сохранения импульса для неупругого удара:

, (1)

где - скорость системы «шар - пуля» после попадания пули в шар.

По закону сохранения механической энергии для системы «шар - пуля»:

. (2)

Из рис.6 следует:

,

откуда . (3)

Так как , то .

Преобразуем соотношения (1) и (2), учтя, что , получим:

; (4)

. (5)

Из уравнений (3)и (5) находим скорость шара с пулей, полученную в момент удара пули:

.

Проверим размерность:

.

Выполним вычисления:

м/с.

Ответ: =550 м/с.

Пример 4. Найти кинетическую энергию платформы, движущейся со скоростью 9 км/ч, если масса платформы вместе с колесами 78 кг. Колеса считать однородными дисками. Общая масса колес 3 кг.

Дано: m_п = 78 кг; 4m_к=m=3 кг; = 9 км/ч=2,5 м/c.

Найти: Е_к.

Решение. Кинетическая энергия платформы складывается из энергии поступательного движения Е_пост платформы как целого и кинетической энергии вращательного движения четырех колес Е_вр:

,

, ;

где I – момент инерции колеса (сплошного диска) массой m_k и радиуса r относительно оси вращения, проходящей через центр колеса ( ).

Учитывая, что ,, а, получим:

.

Поэтому полная кинетическая энергия платформы

Дж.

Ответ: 250 Дж.