5. Электростатика

5.1. Закон Кулона:

,

где F - сила взаимодействия между точечными зарядами q₁ и q₂, находящимися на расстоянии r в среде с диэлектрической проницаемостью ;- электрическая постоянная,k – коэффициент пропорциональности, равный

Нм²/Кл².

5.2. Напряженность электростатического поля:

,

где - сила, действующая на точечный положительный зарядq, помещенный в данную точку поля.

5.3. Поток вектора напряженности через поверхность площади S:

,

где - угол между вектором напряженности поляи нормальюк площадиdS.

5.4. Теорема Гаусса:

,

где Ф_Е – поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность; - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности;N – число зарядов.

5.5. Потенциал электростатического поля:

,

где - потенциальная энергия точечного положительного зарядаq, помещенного в данную точку поля.

5.6. Связь между разностью потенциалов и напряженностью:

• в векторной записи ,

• в скалярной записи ,

• в случае однородного поля ,

где () – разность потенциалов между двумя точками поля, Δr - расстояние между этими точками вдоль силовой линии.

5.7. Напряженность, потенциал электростатического поля, созданного

• точечным зарядом q, на расстоянии r от заряда:

; ;

• бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной плотностью заряда , на расстоянииr от нити:

; ;

• заряженной проводящей сферой радиуса R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R)

; ;

б) вне сферы (r>R)

;;

• равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плоскостью зарядов :

; .

5.8. Принцип суперпозиции полей:

;,

где ,- напряженность, потенциал результирующего поля в данной точке;,- напряженность, потенциал поля, создаваемого в данной точке отдельным точечным зарядомq_i; (при расчете потенциала поля необходимо учитывать знак заряда).

5.9. Работа сил электростатического поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом в точку с потенциалом:

.

5.10. Электроемкость:

• уединенного сферического проводника радиуса R:

;

• плоского конденсатора площадью S и расстоянием d между пластинами:

;

• последовательно соединенных конденсаторов:

;

• параллельно соединенных конденсаторов:

,

где - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится уединенный проводник, а для конденсаторов – среды между обкладками.

5.11. Энергия заряженного конденсатора:

,

где q – заряд на обкладке конденсатора; U – напряжение между обкладками.

6. Постоянный ток

6.1. Сила тока:

,

где dq – количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за время dt.

Если ток постоянный:

.

где q – заряд, прошедший через поперечное сечение за время t.

6.2. Плотность тока:

,

где- ток, прошедший через площадь поперечного сечения, перпендикулярного направлению движения зарядов.

6.3. Закон Ома:

• для однородного участка цепи (рис.11):

;

• для неоднородного участка цепи (рис.12):

;

• для замкнутого контура (рис.13):,

где - разность потенциалов на концах участка;

R, r – соответственно внешнее и внутреннее сопротивления.

6.4. Законы Кирхгофа.

6.4.1. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю; т. е.

,

где n – число токов, сходящихся в узле.

6.4.2. Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма произведений сил токовI_i на сопротивление R_i соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС , встречающихся в этом контуре; т. е.

где n – число участков, содержащих активное сопротивление; – число источников в контуре.

При решении задач по законам Кирхгофа необходимо:

1. Обозначить на схеме узлы и контуры.

2. Произвольно выбрать направление токов (если они не оговорены условием задачи) во всех участках цепи и обозначить их на чертеже стрелками.

3. Учесть направление токов при составлении первого закона (положительными считаются токи, входящие в узел, а отрицательными – выходящие из узла).

4. Составить систему уравнений для первого закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по этому закону, должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи.

5. Выбрать произвольно направление обхода контуров. Считать, что ЭДС в уравнении будет положительной, если направление от отрицательного полюса источника тока к положительному совпадает с направлением обхода, в противном случае ЭДС следует считать отрицательной (рис.15 ).

6. Считать падение напряжения в цепи (IR) положительным, если выбранное ранее направление тока на этом участке (между двумя узлами) совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если направление тока не совпадает с направлением обхода контура.

7. Первый контур выбрать произвольно. При составлении уравнений для следующих контуров надо включать в них контуры, не входившие в предыдущие уравнения .

8. Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, определяется, исходя из условия, что если число контуров в цепи равно m, а число узлов в ней n, то число независимых уравнений, достаточных для решения, будет равно .

9. Получение в ответе токов с отрицательными знаками означает, что было выбрано направление, обратное действительному.

6.5. Сопротивление проводника длиной l, площадью поперечного сечения S и удельным сопротивлением ρ_э:

.

6.6. Сопротивление проводников:

• при последовательном соединении (Рис.16а)

;

• при параллельном соединении (Рис.16б)

,

где R_i – сопротивление отдельного i проводника.

6.7. Работа тока при напряжении U и силе тока I за время t:

.

6.8. Мощность тока:

.

6.9. Закон Джоуля – Ленца:

,

где Q – количество теплоты, выделившейся в проводнике при прохождении по нему тока I за время t.

Примеры решения задач.

Пример 7. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии Δх=1см друг от друга, на нити висит заряженный шарик, масса которого равна 0,1 г. После того как на пластины была подана разность потенциалов 1000 В, нить с шариком отклонилась на угол 10⁰. Найти заряд шарика.

Дано: м;m = кг;В;.

Найти: q.

Решение. Пусть для определенности q > 0. На шарик действуют сила тяжести , сила натяжения нити и сила кулоновского взаимодействия(рис.17).

Сила, с которой электрическое поле действует на заряд, помещенный в это поле:

(1)

где - напряженность поля, образованного двумя пластинами (поле плоского конденсатора) однородно,.

Электрическое поле конденсатора является однородным, поэтому

, (2)

где - разность потенциалов между пластинами;- расстояние между ними.

Шарик находится в равновесии, следовательно

.

В проекциях на координатные оси «x»и «y» получим систему уравнений:

x: или ;

y: или ,

откуда следует, что . (3)

Приравнивая выражения для силы (1) и (3), учитывая (2),

получим: ,

откуда .

Выполним вычисления:

нКл.

Ответ: q = 1,7Кл.

Пример 8. Электрическое поле образовано положительно заряженной бесконечно длинной нитью. Двигаясь под действием этого поля от точки, находящейся на расстоянии х₁ = 1 см от нити, до точки х₂ = 4 см, - частицаизменила свою скорость от ₁= 2 м/с до ₂ = 3 м/с. Найти линейную плотность заряда на нити τ.

Дано: х₁ = м; х₂ = 4м;м/с;м/с.

Найти: τ

Решение. Электрическое поле совершает работу по перемещению, α – частицы, изменяя тем самым кинетическую энергию - частицы :

(1)

где W₂, W₁ – кинетические энергии α – частицы в точках поля с потенциалами и;А₁₂ – работа по перемещению частицы между точками на расстояниях от нити х₂ и х₁; m – масса α – частицы.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле:

А₁₂=q (φ₁-φ₂) (2)

где (φ₁-φ₂) – разность потенциалов между точками поля (рис.18).

Разность потенциалов найдем, используя связь между напряженностью и разностью потенциалов для неоднородного поля:

, (3)

где - напряженность поля, созданного заряженной нитью в точке на расстоянии х от нити ;- линейная плотность заряда нити.

Подставим выражение для разности потенциалов (3) в формулу работы (2):

. (4).

Приравняв выражения работы (1) и (4), получим:

.

Проверим размерность:

Выполним вычисления:

Кл/м.

Ответ:.

Пример 9. На рисунке 19 приведена схема электрической цепи батареи с  = 120 В; R₃= 20 Ом; R₄= 25 Ом, падение потенциала на сопротивлении R₁ равно U₁= 40 В. Амперметр показывает ток 2 А. Найти сопротивление R₂. Сопротивлением батареи и амперметра пренебречь.

Дано:  = 120 В; R₃ = 20 Ом; R₄ = 25 Ом; U₁ = 40 В; I_A = 2 А.

Найти: R₂.

Решение. Сопротивления исоединены параллельно (Рис19), следовательно:

I_A = I₂ + I₃, (1)

, (2)

где I_A, I₂, I₃ – соответственно общий ток, токи в нагрузках R₂ и R₃; - падения напряжения на сопротивленияхи.

По закону Ома для участка цепи:

, ,

отсюда

. (3)

ЭДС источника равна сумме падений напряжений на всех участках цепи:

,

откуда

. (4)

В (4) падение напряжения на сопротивлении R₄ заменим соотношением

В результате получим:

В.

Используя (2) рассчитаем ток через сопротивление R₃:

I₃=А.

Учитывая (1) рассчитаем ток через сопротивление R₂:

I₂ = I_A – I₃ = 2 – 1,5 = 0,5 А.

Определим , учитывая (2):

Ом

Ответ: R₂ = 60 Ом

Пример 10. Три источника тока с ЭДС В,В,В и внутренними сопротивлениямиОм и три реостата с сопротивлениямиОм,Ом,Ом соединены, как показано на рисунке 20. Определить силу тока в реостатах.

Дано: В;В;В;Ом;Ом;Ом;Ом.

Найти:

Решение. Силы токов в разветвленной цепи определим с помощью правил Кирхгофа. Для этого составим столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин.

Перед составлением уравнений выберем произвольно направления токов на всех участках цепи и направления обхода контуров ( рис. 20)

Воспользуемся первым правилом Кирхгофа, учитывая, что ток, входящий в узел, входит в уравнение со знаком “+”, а ток, выходящий из узла – со знаком “–” .

Для узла А

,

или

При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа учтём, что

если направление тока на участке контура совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее произведение входит в уравнение со знаком “плюс”, в противном случае – со знаком “минус”;

если при обходе контура внутри источника тока осуществляется переход от “–” к “+”, то соответствующая входит в уравнение со знаком “плюс”, в противном случае – со знаком “минус”.

Для контуров:

1. ACDBА:

; (1)

2) CDFEС:

. (2)

Подставив значения в соотношения (1) и (2), получим систему уравнений:

.

Решим эту систему с помощью определителей. Для этого запишем её в виде:

Искомые токи найдем по формулам:

; ;

Найдем определители :

Тогда

А; А;А.

Знак “минус” у тока говорит о том, что направление тока на рисун- ке 14 было указано противоположно истинному, т.е. ток идет от узлаB к узлу A.

Ответ: ;;.

Пример 11. Сила тока в проводнике сопротивлением равномерно растет отдоза время. Определить выделившееся в проводнике за это время количество теплоты.

Дано: ,,,.

Найти: .

Решение. Согласно закону Джоуля-Ленца для бесконечно малого промежутка времени:

.

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. , где– коэффициент пропорциональности:

.

Тогда можно записать:

(1)

Проинтегрировав (1) и подставив выражение для , найдем искомое количество теплоты:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .