- •Северный (Арктический) федеральный университет Механика. Молекулярная физика. Термодинамика. Электродинамика.
- •Архангельск
- •Основные законы и формулы
- •1. Кинематика движения материальной точки
- •2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3.9. Работа при повороте твердого тела относительно произвольной неподвижной оси z на некоторый угол φ под действием внешних сил Мz
- •Примеры решения задач
- •4. Молекулярная физика и термодинамика
- •5. Электростатика
- •6. Постоянный ток
- •7. Магнитное поле тока
- •Примеры решения задач
- •Задачи контрольных работ
- •Основные физические постоянные
- •Плотность твердых тел
- •Плотность жидкостей
- •Эффективный диаметр молекул
- •Диэлектрическая проницаемость
- •Удельное сопротивление металлов
- •Оглавление
Примеры решения задач
Пример 12. Длинный прямой провод, по которому протекает ток силой 10 А, и круговой контур с током 5 А расположены так, что плоскость контура перпендикулярна проводу. Расстояние от прямого тока до центра контура равно 10 см. Радиус контура R =6 см. Определить индукцию магнитного поля в центре контура.
Дано: I1 = 10 A; I2 = 5 A; а = 10 см=0,1 м; R = 6 см=0,06 м.
Найти: В.
Решение. По принципу суперпозиции индукция магнитного поля в центре контура равна геометрической сумме индукций полей, созданных токами I1 и I2:
.
Направление векторов определим по правилу буравчика (рис.26): проводим силовую линию через данную точку О, вектор индукции направляем по касательной к силовой линии.
Значения векторов инайдём по формулам:
для поля бесконечно длинного проводника
;
для поля в центре кругового тока
,
где а – расстояние от бесконечно длинного проводника до точки поля О (рис.26).
Так как векторы ивзаимно перпендикулярны, то модуль результирующего векторанаходим по теореме Пифагора:
=.
Проверим размерность:
Тл.
Произведя подстановку величин получим:
мкТл
Ответ: В = 56 мкТл.
Пример 11. Короткая катушка площадью поперечного сечения 150 см2, содержащая 200 витков провода, по которому течет ток силой 4 А, помещена в однородное магнитное поле напряженностью 8000 А/м. Найти магнитный момент катушки, вращающий момент, действующий на катушку со стороны поля, если ось катушки составляет с линиями индукции поля угол 600.
Дано: S=150 см2 =150∙10-4 м2 =15∙10-3 м2; N=200; I=4 A; Н=8000 А/м; = 600.
Найти: Рm; М.
Решение. Магнитный момент витка с током:
,
магнитный момент - вектор, направление которого указано на рис.27.
Модуль магнитного момента катушки, содержащей N витков, площадью S:
Pm=ISN (1)
На катушку с током, помещенную в магнитное поле, действует момент сил:
M = Pm·B·sin=Pmμ0μHsinφ (2)
где В – индукция магнитного поля, В = 0Н; - угол между направлением и вектором, рис.27;μ0 – магнитная постоянная; μ=1( считаем, что катушка находится в вакууме).
Выполним вычисления:
Pm=NIS=200 415010-4=12 Ам2,
M = Pm·0Н ·sin = 12410-718000sin600 = 0,1 Нм.
Ответ:Pm= 12A·м2;M= 0,1 Нм.
Пример 12. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов ,влетает в вакууме в однородное магнитное поле с индукцией и начинает двигаться по окружности. Вычислить: 1) радиус окружности, описываемой протоном в поле; 2) частоту вращения протона в магнитном поле.
Дано: ; ; ;.
Найти: , .
Решение. Протон попадает в магнитное поле, имея скорость , которую он приобрел, ускоряясь в электрическом поле. Скорость протона задана через ускоряющую разность потенциалов. По закону сохранения и превращения энергии работа сил электрического поля равна изменению кинетической энергии протона:
или
,
где – работа сил электрического поля по перемещению заряженной частицы (протона) в поле;– ускоряющая разность потенциалов или ускоряющее напряжение ; и– начальная и конечная кинетические энергии протона.
Пренебрегая начальной кинетической энергией и выразив кинетическую энергию через скорость, получим
,
откуда выразим скорость протона:
. (1)
На влетевший в магнитное поле протон действует сила Лоренца
. (2)
Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки (рис. 24). Модуль силы Лоренца равен
. (3)
Так как силаперпендикулярна к скорости, она изменяет лишь направление вектора скорости, но не его модуль, т.е. сообщает протону нормальное (центростремительное) ускорение. Под действием этой силы протон будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции.
Согласно второму закону Ньютона:
.
Подставив сюда выражение (3) и , получим
, (4)
где ,,– заряд, скорость, масса протона;– радиус кривизны траектории;– угол между направлениями векторови(в нашем случае,).
Из формулы (4) выразим радиус окружности, учтя, что:
. (5)
Подставив в формулу (5) выражение для скорости (1), получим:
. (6)
Подставим в формулу (6) числовые значения физических величин и выполним вычисления:
.
Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории:
; ;,
где Т – период вращения.
Подставив из выражения (5) в формулу для частоты, получим
. (7)
Выполним вычисления:
.
Ответ: ;.
Пример 13. В однородном магнитном поле с индукцией 1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая 1000 витков. Площадь рамки 150 см2, рамка делает 10 об/с. Вращение происходит относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Определить мгновенное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 300.
Дано:В= 1 Тл;N= 1000;S= 150 см2= 150·10-4 м2;n= 10 об/с; α = 300.
Найти:εi.
Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется по закону Фарадея:
, (1)
где Ψ – потокосцепление, = N Ф; Ф - магнитный поток, охватываемый одним витком; N – число витков.
При вращении рамки ( на рис.29 изображён только один виток рамки) магнитный поток Ф, изменяется по закону:
Ф = B∙S∙cosωt=BScosωt, (2)
где - угол между нормалью к рамкеи вектором, при равномерном вращенииα= ωt; S– площадь, ограниченная одним витком.
При вращении рамки поток Ф периодически изменяется, в связи с этим в рамке возникает периодически изменяющаяся ЭДС индукции. .
Подставив в формулу (1) выражение потока Фи продифференцировав по времени, получаем мгновенное значение ЭДС индукции:
=N∙B∙S∙ω∙sinωt (3)
Циклическая (круговая) частота ωсвязана с частотой вращенияn:
ω = 2πn.
Подставив выражение ωв формулу (3) и заменивωtна уголα, получим:
= N∙B∙S∙2π n∙sinα.
Произведем вычисление:
= 1000115010-423,1410sin300= 471 В.
Ответ: = 471 В.