12. Временные хар-ки. Типовые входные воздействия. Переход функция. Импульсн переход функция. Рамповая переход функция. Переход хар-ка, импульс переход хар-ка, рампов переход хар-ка.

Временной хар-кой звена назыв закон измен выходной величины звена во времени y(τ) в ответ на изменение входного воздействия х(τ) при условии, что до приложения входного воздействия звено находилось в покое.

Типовые входные воздейст. Единич ступенчатое воздействие описыв единич ступенчат функцией (Хевисайда): изображение которой по Лапласу L[1(τ)]=1/s.(а) Единич импульсное воздействие описыв единич импульс функцией (дельта-функц ДирАка): ,Эта функция не имеет графика с точки зрения классич мат анализа. Ее можно рассматр как предел послед-ти импульсов длительного ∆τ и амплитудой 1/∆τ при ∆τ->0 (б). Единичной рамповое воздейст ( с постоянной скоростью) описыв единич рампов функцией:, изображение которойL[τ*1(τ)]=1/s² (в).

Переходная функция – аналитич выражение отклика звена на единич ступенчатое входное воздействие при нулевых начальн условиях: h(τ)=L^-1[W(s)*1/s]. L^-1- символ обрат преобраз Лапласа. Графич изображ переход функции –переход хар-ка. График изменения выходного сигнала при ступенчат входном воздейст, отличающ по величине от единичного, - кривая разгона. Импульсная переходная функция ( функция веса) – аналитич выраж отклика звена на единич импульсн входн воздейст при нулевых начальн условиях: w(τ)=L^-1[W(s)*1]. Графич изображ импульс перех функции – импульс переход хар-ка (весовая). Рамповая перех функция – аналит выраж отклика звена на единич рамповое воздействие при нулевых нач услов: у(τ)=L^-1[W(s)*1/s²]. Графич изображ – рамп перех хар-ка. Переходная, импульс и рамповая функции яв частными случаями временных хар-к.

13. Частотные хар-ки. Частотная передаточ функция. Частотный анализ систем управ.

Реакцию САУ или отдельн ее эл-тов на гармонич входное воздейст выраж с помощью частот хар-к. Их определяют в установившихся колебат режимах. Они связаны со структурой и св-вами систем управ. Отличит особенностью частотных методов яв робастность (грубость). Синтезир с их помощью система управ сохран требуемые хар-ки, несмотря на небольш различия между моделью, на основе котор выполн проектирование, и реальной системой управ. Частотные хар-ки можно получить на основе мат модели САУ и экспериментально. Частотные методы позвол получить хар-ку системы в целом по хар-кам отдельн эл-тов системы независимо от их числа. Частот хар-ки позвол опред тип регулятора, и просто решить задачу об устойчивости САУ. Если на вход устойчив линейн стационар динам звена подать гармонич сигнал с частотой w и амплитудой A_х х(τ)= A_х sin(wτ)*1(τ), то после заверш переход процесса в установиш режиме выход величина динам звена будет соверш вынужд гармонич колебания с частотой w, но с иной амплитудой A_у и сдвинутые по фазе относит входн колебаний на угол φ: у_вын(τ)= A_уsin(wτ+φ). Положит знач φ означ опережение по фазе, отриц – отставание. Определяя в установивш режиме отнош амплитуды выходн колеб к амплитуде входн колеб A_у/A_х и фазов сдвиг φ при разных частотах колеб входн сигнала (0<w<∞), можно эксперимент получить частотные хар-ки динам звена. Зависим-ть отнош амплитуды A_у/A_х от частоты колебаний w назыв амплитудно-частотной хар-кой (АЧХ) и обознач A(w). Зависим-ть фаз сдвига φ между выход и вход колеб от частоты w – фазово-частот хар-ка (ФЧХ) и обознач φ(w).

Частотная передаточ функция. Гармонич сигнал подан на вход устойчив линейн стацион динам звена, опис дифф ур-нием: dⁿy(τ)/dτⁿ+…а₀у(τ)=b_m(d^mx(τ)/dτ^m)+…+b₀x(τ). Передаточ функция: W(s)=Y(s)/X(s)=(b_ms^m+…+b₀)/(sⁿ+…a₀)=(b_ms^m+…+b₀)/((s-p₁)+…+(s-p_n)), p1…pn-корни хар-кого ур-ния: sⁿ+…a₀=0, назыв также полюсами передат функции. Изображ входного сигнала: X(s)=L[x(τ)]=L[A_xsin(wτ)*1(τ)]=A_xw/(s²+w²). У(s)=W(s)*X(s)=W(s)*A_xw/((s-jw)(s+jw)); j=√(-1).

Y(s)=c1/(s-p1)+…c_n/(s-p_n)+c_n+1/(s-jw)+c_n+2/(s+jw). Приравниваем оба выражения W(s)*A_xw/((s-jw)(s+jw))=c1/(s-p1)+…c_n/(s-p_n)+c_n+1/(s-jw)+c_n+2/(s+jw) (1) и по изображ выход сигнала наход реакц динам звена на гармонич входн воздейст, выполнив обрат преобраз Лапласа: у(τ)=L^-1c1/(s-p1)+…L^-1c_n/(s-p_n)+L^-1c_n+1/(s-jw)+L^-1c_n+2/(s+jw)=c₁e^p₁^τ+…+c_ne^p_n^τ+c_n+1e^jwτ+c_n+2e^-jwτ=y_с(τ)+y_вын(τ), где y_с(τ)- собствен движ системы, зависящ от начальн услов, и стремится к 0, а y_вын(τ)- вынужд движ в установиш режиме, зависящ от вход воздейст. Для определ постоян величины с_n+1, уможим обе части равенства (1) на (s-jw): W(s)*A_xw/(s+jw)=c1(s-jw)/(s-p1)+…c_n(s-jw)/(s-p_n)+c_n+1(s-jw)/(s-jw)+c_n+2(s-jw)/(s+jw). Положим, что s=jw. Тогда с_n+1=W(jw)*A_xw/(jw+jw)=W(jw)*A_x/(2j). Умножив обе части ур-ния (1) на (s+jw) и принимая s=-jw: с_n+2= W(-jw)*A_x/(-2j). => с_n+1 и с_n+2 яв комплекс сопряж числами: с_n+1= (A_x/(2j))*│W(jw)│e^jargW(jw); с_n+2= (A_x/(-2j))*│W(-jw)│e^jargW(-jw)=(A_x/(-2j))*│W(jw)│e^-jargW(jw).

У_вын(τ)=A_x*│W(jw)│{e^{j[wτ+argW(jw)]}- e^{-j[wτ+argW(jw)]}}. Применим к выраж в фигур скобках формулу Эйлера: cosφ+jsinφ=e^jw. Получаем: У_вын(τ)=A_x*│W(jw)│sin[wτ+argW(jw)]=A_y(w)sin[wτ+φ(w)]. При гармонич входн воздейст после заверш переход процесса выход величина динам звена также соверш гармонич колеб с частотой, равной частоте вход колеб. Колеб выход величины смещены по фазе относит колеб вход сигнала на φ(w)=argW(jw). Отнош амплитуд: A(w)=A_y(w)/A_x=│W(jw)│. W(s)│_s=jw=W(jw) – частот передаточ функция, или передат ф-ция по Фурье. Ее можно представить в виде суммы действит и мнимой частей: W(jw)=m(w)+jn(w), или в показательной форме: W(jw)=A(w)e^jφ(w). m(w) и n(w) – действит и мнимая частот хар-ки звена, А(w) и φ(w)- амплитуд частот и фазов частот хар-ки.

Графич представление. Амплитудно-частот хар-ка и фазов-частот могут быть построены в линейн декарт корд, но удобнее использ логарифмич хар-ки. По оси абсцисс отклад частоту в логарифм масштабе, те наносят отметки, располож на расст lgw от начала корд, а возле отметок пишут само знач частоты w, выраж в радианах в ед времени. Также и с A(w). При построении логарифм фазово-частот хар-ки по оси абсцисс откалаж частоту так же, а по оси ординат – φ(w) в радианах.

Термины, использ при частот анализе. Показ-ль колебательности M=Amax(w)/A(0) хар-т склонность системы к колебаниям. Система с М<1 обладает апериодич переход хар-кой. Чем больше М, тем слабее затух в системе колеб, и тем ближе система к границе устойчив. Резонанс частота w_p – частота, при котор АЧХ имеет max: A(w_p)=Amax(w).Полоса пропускания – интервал частот w_cр1≤w≤ w_cр2, в котор выполн условие: k<A(w)<Amax(w), k – положит дейст число (0≤k≤Amax(w)).Частоты, соотв границам полосы пропускания,- частоты среза w_ср.