Electrodynamics_slides

7. Уравнения электродинамики сплошных сред

Точные уравнения Максвелла для микроскопических напряженностей полей

rot e r, t 1 h r, t ; c t

divh r, t 0;

	rot h r, t	1 e r, t			4 jint r, t jext r, t ;
		c t
					c

dive r, t 4 i nt r, t ext r, t .

ρext(r, t), jext(r, t) – плотность заряда и тока внешних (сторонних) зарядов.

ρint(r, t), jint(r, t) – плотность заряда и тока частиц вещества.

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Усреднение уравнений Максвелла

1

3

1

T

f

f

d

x

dt

f r r , t t

f

V V

T 0

t

t

Усредненное значение напряженности микроскопического

электрического поля принято называть напряженностью

макроскопического электрического поля:

e E

Усредненное значение напряженности микроскопического магнитного поля принято называть индукцией макроскопического магнитного поля: h B

rot E r, t 1 B r, t ; c t

divB r, t 0;

rot B r, t	1		E r, t		4		jint r, t	jext r, t ;
	c t
					c

divE r, t 4 i nt r, t ext r, t .

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор электрической поляризации

Вектор электрической поляризации определяется как электрический

дипольный момент, приходящийся на единицу объема:

1

P V a eara

int div P

Полный электрический дипольный момент тела объема V:

V	int r r dV	int r ea r ra					V	eara
	V		a					a
	V P r dV			int r r dV			P r dV
	V		V			V

a,r int dV a, P dV

V V

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор электрической поляризации

a,r int dV a,P dV

V V

P, a,r P a x a P x a P a P a, P

i i j j j i i j j i ij i i

a,P P, a,r P a,r a,r ,P

a,r int dV div P a,r dV a,r div P dV

V V V

a,r int dV P a,r dS a,r div P dV

V S V

a,r	int dV a,r div P dV
V	V
r int dV r div P dV
V	V

int div P

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор магнитной поляризации

Вектор магнитной поляризации, называемый также вектором

намагниченности, определяется как магнитный момент, приходящийся на единицу объема:

J

1 1

ea ra , va

V 2c

a

jint

c rot J

Полный магнитный момент тела объема V:

V

1

r, jint r dV

jint r ea va r ra

V

1

ea ra , va

2c

2c V

a

a

V J r dV

1

r, jint r dV J r dV

2c

V

V

V

1

a, r, jint

dV a,J dV

2c V

V

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор магнитной поляризации

1

a, r, jint

dV

a, J dV

2c V

V

rot a,r 2a

(a – постоянный вектор)

rot

a,r

,

a,r

e e

e

a x

e e

e

a

x

i ijk

j klm

l m

i ijk

klm

l

j m

ei il jm im jl al jm ei 3ai ai 2a.

a,J

1

rot

a,r

,J

1

J, ,

a,r

1

J e

e

a x

2

2

2 i ijk

j klm

l m

12 j Jieijk eklmal xm eijk j Ji eklmal xm

12 j ejik Jieklmal xm alelmk xmekji j Ji

12 , J, a,r a, r, ,J .

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор магнитной поляризации

1 a, r, jint dV a, J dV
2c V	V

a,J 12 , J, a,r a, r, ,J

2c V

int

2 V

1

a,

r, j

dV 1

a,

r,rot J

div J,

a,r

dV

a, r, jint dV c a, r, rot J dV

V V

jint c rot J

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Вектор магнитной поляризации

Обобщение для нестационарных полей:

Закон сохранения для внутренних зарядов

int r, t

div jint r, t 0

t

int

div P

P

div jint

0

t

div

rot a 0

jint

P

c rot J

t

j

c rot J P

int

t

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Преобразования уравнений Максвелла

1

B

1

B

rot E c

;

rot E

;

t

c

t

divB 0;

divB 0;

1 E

4

1

4

jint jext ;

rot B c

c

rot B 4 J

c

E 4 P

jext ;

t

c

t

divE 4

i nt

ext .

div E 4 P 4 ext .

Вектор электрической индукции

D E 4 P

Вектор напряженности магнитного поля

H B 4 J

rot E 1c Bt ; div B 0;

rot H	1	D		4 j;
	c	t		c

div D 4 .

7. Уравнения электродинамики сплошных сред Линейные изотропные среды

Векторы D и B несут информацию о свойствах среды.

P E κ – диэлектрическая восприимчивость J H χ – магнитная восприимчивость

D E 4 P	D		1		E		E
				4

1 4 ε – диэлектрическая проницаемость среды

B H 4 J 1 4 H H

1 4

JB H

μ– магнитная проницаемость среды

1B

c t ;rot E

	divB 0;
	B			1		E	4	j;
	rot
				c	t		c

div E 4 .