Electrodynamics_slides

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

ddtp eE ce v, H

Действие для свободной релятивистской частицы выражается через инвариантную величину - пространственно-временной интервал:

ds2 c2dt2 dx2 dy2 dz2

ds c dt 1

1

dx 2

dy 2

dz

2

c dt 1

v2

2

c

2

c

dt

dt

dt

t2

2 t2

v2

Sparticle

mc

ds mc

1

c2

dt

t1

t1

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

t2

2 t2

v2

Sparticle

mc

ds mc

1

c2

dt

t1

t1

Нерелятивистский предел:

c

lim 1 x

1 x

1

x2

x 0

2!

2 t2

1 v2

2

t2

mv2

t2

mvmv2

lim Sparticle

mc

1

2 c

2 dt mc

t2

t1

dt

dt

2

2

c

t

t

t

1

1

1

Импульс определяется как производная функции Лагранжа по обобщенной скорости:

t2

p

mv

2

v2

p

S q t , q t , t dt

mc

q

1 c2

1

v2

t1

c2

При

c

p mv

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

Член, учитывающий взаимодействие частицы с электромагнитным

полем:

S

1

A

j d 4 x

source

c2

j dx

c , v c , j

e r r

dt

S

source

1

A

j d 4 x

1

A

dx

dV cdt

c2

c2

dt

1c A dx dV ce A dx r r dV ce A dx .

Smc ds e A dx

c

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

	e	A dx			e	A dx			e	A dx
S mc ds	c			S mc ds	c				c

ds2 c2dt2

dx2 dy2

dz2

dx dx

ds

dx

dx

u

dx

u dx

ds

dx

dx

dx

d x u d x

ds

dx dx

ds

ds

	e	A dx			e	A dx
S mc ds	c				c

e

A d x

e

A dx

mc u d x

c

c

mc du x

e

d A x

e

dA x

mc d u x

c

c

e A dx . c

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

mc du x

e

d A x

e

dA x

e

A dx

S mc d u x

c

c

c

.

A

A

du

dx

dA

dx

A

x

du

ds

dx

u

ds

ds

ds

ds

x

x

e

t2

du

S mc u

A

x

mc

ds x

c

ds

t

1

du

e

A

A

mc

ds x

dx

x

ds

c

x

x

du

e

du

mc

ds x

F u ds x

mc

ds

c

ds

e A						e A
		dx	x					x dx
c x						c x

e F u ds x c

mc du e F u ds c

2. Потенциалы электромагнитного поля

Уравнения движения заряда как следствие принципа наименьшего действия

	du					В системе покоя
		e			v2
mc		c	F u	ds c dt 1 c2		ds = c dτ
	ds

dx

1

dx

1

u

ds

dt

c

1

v

2

1

v

2

c2

c2

dx

1

dx

1

u

;

ds

2

dt

2

c

1

v

1

v

c2

c2

	1, 2, 3:	dp	e
		dt	eE c v, H

v

c d c dt 1 v

2

;

2

v2

c

1

c

c2

d

v

dt

2

1

v

v2

c

1

2

c2

c

d

mc

2

0 :

e E, v

v2

dt

1

c2

2. Потенциалы электромагнитного поля Электродинамика как теория со связями

rot E r, t		1			H r, t				;
		c			t
div H r, t 0;
rot H r, t	1 E r, t								4 j r, t ;
	c				t
									c

div E r, t 4 r, t .

4

F c j

ddtp eE ce v, H

Только три из четырех уравнений содержат производные второго порядка по времени от функций поля.

0 :

divE 4

не содержит первых производных по времени от компонент напряженности электрического поля и, следовательно, вторых

производных по времени от потенциалов.

2. Потенциалы электромагнитного поля Электродинамика как теория со связями

Задача Коши для системы уравнений Лагранжа: необходимо найти

функции q(t) при заданных начальных условиях, т. е. известных значениях функций q(0) и их производных в начальный момент времени.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,

разрешимых относительно вторых производных по времени, задача

Коши имеет единственное решение.

		d
					0	q f q, q
q				q
		dt

Уравнения, которые содержат производные первого порядка по

времени и сами полевые функции, называются уравнениями связей. Можно доказать, что в этом случае решение системы уравнений зависит от произвольных функций, причем число этих произвольных функций равно число уравнений связи.

2. Потенциалы электромагнитного поля Электродинамика как теория со связями

Наличие связей также свидетельствует о том, что теория инвариантна

относительно некоторого класса преобразований, называемых калибровочными, т. е. имеет место калибровочная инвариантность. Такие теории называют теориями со связями или калибровочными теориями.

Решение уравнений поля зависит от одной произвольной функции.

r, t

r, t

1

r, t

A r, t A r, t

grad r, t

c

t

def

def

A

A A

A

x

,

x

2. Потенциалы электромагнитного поля Электродинамика как теория со связями

Для того, чтобы ограничить свободу выбора произвольной функцииr, t , на потенциалы поля накладываются дополнительные условия, называемые калибровочными условиями.

Примеры калибровочных условий:

Калибровка Кулона:

div A 0

Калибровка Лоренца:	1		div A 0
	c	t

В четырехмерном виде

A 0