Electrodynamics_slides

4. Запаздывающие потенциалы Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера

r, t G r, t; r , t r , t dV dt

	1 2						1 2G					r , t dV dt
				2		G				2
	c	2	t				c	2	t

4 r r t t r , t dV dt 4 r, t .

G

G R,

G r, t; r , t

r r

, t t

G

1 2G

4 R

R r r

t t

c2

2

1

2

G

1

G

1

2G

G

R

sin

2

R

2

R

2

sin

R

2

sin

2

R

R

1

2 G

1 2G

4 R

R

R

2

R2

R

c2

2G

2

G

1 2G

4 R

R2

c2 2

R R

4. Запаздывающие потенциалы Функция Грина неоднородного уравнения д'Аламбера

	2G		2 G				1 2G			4 R
	R2		R R				c2 2

G R,	R,	G		1		1	R,	2G			1 2				2				2		R,
									2				2
								R			R R				R	2				3
		R				2
	R
				R R R													R R

2 1 2 4 R R

R2 c2 2

2

1 2

R

R

1

R

R 0 :

0

R,

f1

f2

G

R,

R2

c2 2

R

c

c

c

R 0 :

1

2G

R

G 4

R

G

c2 2

4

1

4 R

1

4 R

R

R

G R,

1

R

R

c

4. Запаздывающие потенциалы Общее решение неоднородного уравнения д'Аламбера

Функция Грина уравнения Пуассона:

1

4 R

R

g

R

1

R

R

g 4

dV

dt

r, t G r, t; r , t

r , t

1

r r

dV

t t

dt

r r

c

r , t

1

r r

1

dV

r r

r , t

c

R

r , t

R dV . c

Общее решение для потенциалов:

r, t 1 r , t R

A r, t 1 1 j r , t c R

R dV 0 r, t c

R dV A0 r, t c

4. Запаздывающие потенциалы

Решения

r, t

1

R

R

dV

r , t

c

A r, t

1

1

R

j r , t

dV

c

R

c

определяют поле в точке наблюдения с радиус-вектором r в момент

наблюдения t через плотность заряда и плотность тока в предшествующий момент времени

t t Rc

Разница между моментами времени t и t’ определяется временем распространения светового сигнала из точки с радиус-вектором r’, где находится заряд, в точку наблюдения с радиус-вектором r. Поэтому потенциалы называются запаздывающими.

4. Запаздывающие потенциалы Потенциалы Лиенара – Вихерта

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом,

движущимся по заданной траектории r=r0(t).

r, t

1

r r

dV

t

t

dt

r

r

c

r , t

r , t e r r0 t

r, t e

1

t

r r

r r0 t

dV dt

t

r

r

c

1

r r0 t

e

r r0 t

t t

c

dt .

r r0 t

F t t t

t t

1 R t

F t

1

t t0

dF

c

c

t0

dt

t0 :

F t 0

4. Запаздывающие потенциалы Потенциалы Лиенара – Вихерта

r, t e

1

r r t

0

r r0

t

t

t

c

dt

F t t t

r r0 t

1

R t

1

F t

t t0

t t c

c

dF

t0

dt

dF

1 1 dR

1

dt

e

c dt

r, t e

t t0 dt

1 dR

R

1

R

dR

R 1

c

dt

c

dt

dR

1 d

2

1 d

2

dR

dr

R, v

R

R

R

R,

R,

0

dt

2 dt

2 dt

dt

dt

r, t

e

j r , t ev t r r0

t

A r,

t

ev

v,R

R

cR v, R

c

4. Запаздывающие потенциалы Потенциалы Лиенара – Вихерта

	r, t		e					A r, t		ev
		R	v,R							cR v, R
			c
	E grad 1			A
									H rot A
			c t

e

v2

v

1

v

E

1

2 R

R

R, R

R

, v

3

2

v,R

c

c

c

c

R

c

H

R,E

R

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях

Ra r ra

r

ea

ra

r ra

r

r

ra

a

f R

f r r

f

r

f

R

x

1

2

f

R

x

R

x

j

R

2

R

R

a

a

ia

i

ja

ia

i

ja

ia Ra r

ia

Ra r

1

3 f

R x

R

x

j

R x

3!

R

R

R

ia

i

ja

ka

k

ia

ja

ka Ra r

Ra r ra

Ria xi xia

f Ra

1

f

R

f

xi

ia

Ra

Ria

r

3

R

R3

Ra r

ia

a

r ea

1 ea

xi

xia

1

ea

1

ea ra ,r

3

r

3

a

r

a

r

a

r

a

d eara

r

1

ea

d,r

r

r3

a

a

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Дипольный момент системы зарядов

d e r

a a

a

Если сумма всех зарядов равна нулю. дипольный момент не зависит от выбора начала координат.

ra ra a	d eara eara a ea eara d
	a	a	a a

ea+, ra+, –ea–, ra– – положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, соответственно.

d ea ra ea ra R ea R ea				R	ea ra		R	ea ra
					a			a
a	a	a	a		ea			ea
						a			a
R+, R– – радиус векторы центров положительных и отрицательных
зарядов.
ea ea q		R R R		d qR

a a

5. Поле системы зарядов на больших расстояниях Квадрупольный момент системы зарядов

2 f

R

ij

3Ria Rja

R R

R R3

R3

R5

ia

ia

ja

ja

a

a

a

2 f

ij

3xi xj

R R

r3

r5

ia

ja

Ra r

2 f

R

x

R

x

ij

3xi xj

x x

r2

3xi xj xia xja

a

R

R

r3

r5

r3

r5

ia

i

ja

j

ia

ja

ia

ja Ra r

1

2

f

Rja

1

ea 3xia xja ij ra2

x x

1 Dij

x x

ea

Ria xi

xj

i

j

i j

2

R

R

r

5

5

a

2

a

2

r

ia

ja Ra r

Dij – тензор квадрупольного момента системы,

Dij

ea 3xia xja ijra2

a

r

Q

xi

1

xi xj

Q ea

2 Dij

r5

r

di r3

a