Физика Лаб. раб. Часть 1

Для примера рассчитаем момент инерции однородного стержня длиной l и массой m, когда ось вращения ОО проходит через его середину.

O

dх

х

l

O

Рис. 2. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно его центральной оси, перпендикулярной к стержню

На расстоянии х от оси вращения выделяем малый участок стержня длиной dx масса этого участка равна dm, тогда согласно формуле (4), момент инерции для этого участка запишется в виде

dJ x2dm

m

Для определения dm вводим линейную плотность, как l , то-

гда dm ml dx , а момент инерции dJ x2 ml dx ml x2dx

Момент инерции для всего стержня запишется в виде:

l 2

m

m

l 2

m x

3

l 2

3

l

3

m l

3

l

3

1

2

2

m l

2

J

x

dx

x

dx

ml

l

l

l

l

l 3

l

3l 2

2

3l

8 8

12

2

2

2

Если ось вращения тела О1О1 параллельна оси симметрии ОО, но смещена от нее на расстояние d, то момент инерции J , относительно новой оси О1О1определяется по теореме Штейнера

J J0 md2

где J 0 - момент инерции тела относительно оси симметрии. Рассчитаем момент инерции для однородного тонкого стержня дли-

23

ной l и массой m, когда ось вращения проходит перпендикулярно к стержню через его конец

J0

1

ml2 ; d

l

;

тогда

12

2

J

1

ml2

l 2

m

1

ml2

o

12

4

3

O1

O

	d
O1	O

Рис. 3. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси.

Для других однородных тел геометрически правильной формы массой m относительно оси симметрии момент инерции рассчитывается по формулам:

1) для однородного сплошного цилиндра (диска) относительно продольной оси J=mR2/2, где m - масса цилиндра, R - его радиус;

2) для однородного шара радиуса R , массой m относительно оси, проходящей через его середину J 52 mR2

3) для тонкого однородного кольца (обруча) радиуса R массой m относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно к плоскости кольца J = mR2 и т.д.

Для тел геометрически неправильной формы массы m момент инерции определяется экспериментальным путем.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела

			/ dt ,
можно записать в ином виде, учитывая, что		d
			(5)
Mdt Jd	или Mdt d (J )

24

Величина Mdt называется импульсом момента сил, прило-

женных к телу, а d( J ) - изменение момента количества дви-

жения тела (момента импульса тела).

Приведенное равенство (5) показывает, что изменение момента количества движения вращающегося тела равно импульсу

момента приложенных к нему сил.
Если
	M =О, то d( J )= 0 или	d(J ) = const , т.е. момент ко-

личества движения остается постоянным.

Это следствие называется законом сохранения момента ко-
личества движения: если сумма моментов сил		M , действующих
на тело, равна нулю ( M	= 0), то момент импульса тела L J

остается постоянным ( L J = const). Например, при выполне-

нии «сальто» в прыжке человек «группируется», прижимая голо-

ву и ноги друг к другу, тем самым снижает момент инерции J

своего тела; а так как L J = const, то угловая скорость враще-

ния тела повышается и, следовательно, время переворота человека уменьшается.

Изучение законов вращательного движения в лабораторной работе производится с помощью маятника Обербека, который представляет собой крестовину, состоящую из 4-х стержней каждый длиной l/2, прикрепленных к втулке с осью.

На стержнях фиксируются грузы массой m1, которые могут быть закреплены симметрично на различных расстояниях от оси вращения. На шкив радиусом r, находящийся на оси вращения, наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз Р.

Если предоставить грузу Р возможность двигаться, то это падение будет происходить с ускорением а. При этом шкив со стержнями и расположенными на них грузами будет вращаться с угловым ускорением , которое можно найти, измерив высоту h и время падения груза t.

	h	t 2	;	2h	;			2h	,	(6)
		2		t 2		r		rt 2

где r - радиус шкива, на который наматывается нить.

25

Силой, создающей вращающий момент, является сила натяжения нити Т. Из второго закона Ньютона для груза Р следует

P +T =m a . Переходя от векторной суммы к алгебраической, проектируя на ось ОХ имеем: Р - Т = ma, откуда

T = P - ma = mg - ma = m(g-a)	(7)
Тогда вращающий момент
M = Tr = m(g-a)r	(8)

Момент инерции маятника может быть определен из основного уравнения вращательного движения:

J=M/ (9)

Подставляя в формулу (9) формулы (5) и (7) получим окончательное выражение для момента инерции маятника Обербека, определенного практически (экспериментально):

m( g

2h

2

2

m

m( g a )r 2 t 2

)r

t

m( gt 2

2h )r 2

t 2

J практ

.

(10)

2h

2h

2h

С другой стороны, теоретически, момент инерции маятника

может быть найден из формулы Jтеорет Jk + 4Jrp (моментом инерции цилиндра радиуса r пренебрегаем), где Jk - момент инер-

ции крестовины, Jrр - момент инерции груза относительно оси вращения. Считая груз материальной точкой массой m1, его момент инерции можно найти по формуле Jrp= m1R2, где R - расстояние от оси вращения до центра масс груза.

Тогда момент инерции крестовины теоретически определяется по формуле:

JK 2 121 m2 l2 ,

где m2 - масса «двойного» стержня, l – его длина (рис 4).

J	1	m l2	4m R2
				(11)
	6	2	1
			26

Выполнение работы

1.Грузы m1 на маятнике Обербека (крестовине) закреплены на некотором одинаковом расстоянии R от оси вращения (рис.4).

2.Измерить расстояние R от оси вращения до центра масс груза

m1.

3.Намотать нить на шкив крестовины и последнюю придерживать рукой.

4.Подвесить к нити груз массой m (200 г., 300 г.) и совместить нижнюю часть груза с верхней меткой на стене.

5.Дать возможность грузу массой m опускаться. Измерить время движения t груза на расстоянии h = 0,5 м от верхней до нижней метки на стене.

6.Результаты измерений занести в таблицу 1.

7.Измерения провести при двух различных грузах массой m по

3раза с каждым при h=const.

8.По формулам (12), (13) (см. ниже) по средним значениям « t » вычислить линейное ускорение «a», угловое ускорение « », вращающий момент «M», действующий на маятник:

a	2h			;		a
			2			r ,
	t

где r – радиус шкива, на который наматывается нить.

Mm (g a) r .

9.По формуле (14) высчитать момент инерции, практически:

(12)

(13)

найденный

	J			M
		практ		.		(14)

10. Вычислить теоретически момент инерции Jтеор по формуле (15) и сравнить с результатом Jпракт , полученным в пункте 9.

J			1	m l2	4m R2
	теор
			6	2	1	.	(15)

Сравнивая Jпракт , найденный из основного уравнения динамики вращательного движения, с его теоретическим значением

27

Jтеор в работе проверяется справедливость основного уравнения динамики вращательного движения = M/J.

11. Вычислить абсолютную по формуле (16) и относительную по формуле (17) погрешность измерений для одной из серий результатов.

Вычисление погрешностей

1) Абсолютная погрешность измерения практического значения момента инерции маятника Обербека:

mgr2 t

t

J

2 t

h

(16)

практ

2h

h

,

t1

t

t

t t

2

t t3

где

3

.

2) Относительная погрешность измерения практического

значения момента инерции маятника Обербека:

Jпракт

100%

J

.

(17)

п р а кт

Jпракт

Таблица 1

№

R

m

t

a

ε

M

J практ (кг.м2)

J теор (кг.м2)

(м)

(кг)

(с)

2

2

.

)

(Н м)

(м/с )

(1/с

1

2

3

0,2

Cр.

t =

1

2

3

0,3

Ср.

t =

28

Некоторые характеристики маятника Обербека:

m1 = 0,154 кг – масса каждого груза на стержне; m2 = 0,184 кг – масса каждого из 2-х стержней; l = 0,52 м – длина стержня;

r = 0,01 м – радиус шкива;

g= 9,8 м/с2;

h= 0,5 м;

h = 0,01м.

m1

			R
L	m1	2r	m1

0

m1

		а
	Т

m

P m g X

Рисунок 4. Маятник Обербека

29

Контрольные вопросы

1.Перечислите величины, характеризующие кинематику вращательного движения, момент инерции и единицы его измерения.

2.Момент инерции различных тел (с выводом формул для стержня, тонкого кольца, тонкой сферы и др.).

3.Момент силы (векторная форма записи), направление и единицы его измерения.

4.Основное уравнение динамики вращательного движения.

5.Закон сохранения момента количества движения (привести примеры использования его на практике).

6.Сочленения и рычаги в опорно-двигательном аппарате человека.

7.Центрифугирование.

30

Лабораторная работа №2

Определение отношения теплоемкостейCP CV по скорости звука в газе

Основные понятия и определения: уравнение Клапейрона-

Менделеева, первое начало термодинамики, внутренняя энергия идеального газа, теплоемкость и виды теплоемкостей.

Цель работы: научиться работать с электроприборами, измерять скорость звука по резонансу в воздушном столбе.

Краткая теория

Теплоемкость газов

При термодинамическом равновесии состояние газа в целом может характеризоваться тремя параметрами: давлением P, объемом V и температурой Т.

Соотношение, связывающее между собой эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа таковым является уравнение Клапейрона - Менделеева, которое для данной массы газа m имеет вид:

pV m RT ,

где - молярная масса газа,

R- универсальная газовая постоянная.

При равновесном переходе газа из одного состояния в другое, т.е. при термодинамическом процессе, должно выполниться первое начало термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом:

количество теплоты dQ, переданное газу, идет на изменение его внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую газом против внешних сил: dQ = dU + dA

Элементарная работа dA=pdV, а внутренняя энергия одного киломоля идеального газа определяется по формуле

U	i	RT ,	(1)
2

где i - число степеней свободы молекулы газа,

31

Для одноатомных молекул i=3 (только 3 поступательных степени свободы); для двухатомных i=5 (3 поступательных и 2 вращательных); для трех и более атомных i=6 (3 поступательных и 3 вращательных).

Теплоѐмкостью С называется величина, равная отношению сообщенного телу при нагревании количества теплоты dQ к вызванному этим процессом изменению температуры dT:

C dQdT dUdT dTdA

Различают удельную теплоемкость Cуд – теплоѐмкость одного килограмма газа в молярную С - теплоѐмкость одного киломоля газа. Эти теплоѐмкости связаны между собой равенством:

C C уд

Теплоемкости для одного и того же газа не являются постоянными величинами, а зависят от характера процесса, при котором происходит нагревание газа, т.к. одному и тому же изменению температуры dT могут соответствовать различные значения работы dA.

Рассмотрим основные изопроцессы, протекающие в одном киломоле идеального газа и найдем соответствующие им теплоѐмкости.

а) Изохорический процесс (V= const)

В этом случае dV=0, следовательно dA=0, и всѐ подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии dU:

dQ = dU.

Тогда молярная теплоемкость при постоянном объѐме, учитывая (I), равна:

C			dU		i	R .	(2)
	v
			dT	2

б) Изобарический процесс (p = const)

В этом случае молярная теплоемкость

C			dU		p	dV	.	(3)
	p
			dT			dT
Из уравнения состояния газа для одного киломоля имеем:
p dV V dp R dT .								(4)
				32