- •Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.2. Решение систем линейных уравнений
- •Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений , равносильная данной. Неизвестныеxи y можно выразить через z:
- •2. Векторы и операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов иназывается число.
- •3. Прямая на плоскости
- •Координаты точки м(X, y), которая делит отрезок между точкамиМ1(x1,y1) иМ2(x2,y2) в отношенииλ , находятся по формулам
- •Основные виды уравнений прямой на плоскости.
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей
2. Векторы и операции над векторами
Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий определенную длину.
Обозначают или. Длина вектора - модуль,
обозначают ,.
Нуль-вектор - - вектор, не имеющий определенного направления, и модуль.
Вектора, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.
Вектор (-) называютпротивоположным вектору , он коллинеарен векторуи направлен в противоположную сторону.
Сложение:
по правилу треугольника; по правилу параллелограмма.
++
Вычитание:
-
-
Произведением вектора на числоназывается вектор, модуль которого, и направление совпадает с направлением, если, и противоположно, если.
Вектора, лежащие на одной или параллельных плоскостях называются компланарными .
Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2 , … , λn такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и . В противном случае система называетсялинейно независимой .
Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве называется базисом .
Вектора - попарно перпендикулярны и, имеющие единичную длину, обозначают прямоугольный декартов базис. Всякий векторможет быть единственным образом представлен как
, где - называются координатами вектора в базисе () и представляют собой проекции векторана осиx, y, z .
аz
ay
ax
Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов иназывается число.
Если вектора заданы координатами ,, то скалярное произведение.
Из формулы нахождения скалярного произведения можно находить косинус угла между двумя векторами
.
Векторное произведение векторов. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, определяемый тремя условиями :
модуль вектора численно равен площади параллелограмма , построенного на векторахи, как на сторонах;
вектор и;
вектора образуют правую тройку, т. е. если смотреть с конца векторана вектораи, то поворот от векторакпо кратчайшему расстоянию виден совершающимся против часовой стрелки.
Если вектора изаданы координатами, , то векторное произведение находится так
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами
А ( 1,1,1 ), В ( 2,5,7 ), С ( 3,2,4 ) .
Решение. Рассмотрим вектора .
Найдем их векторное произведение
.
Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах
.
Тогда площадь ΔАВС будет равна половине площади параллелограмма SΔ =.
Смешанное произведение . Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторно-скалярному произведению векторов. Геометрически смешанное произведение с точностью до знака численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.Смешанное произведение через координаты векторов выражается в виде
.
Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение=0 и наоборот.
Пример. Найти объем тетраэдра с вершинами
А ( 2,-3,5 ), В ( 0,2,1 ), С ( -2,-2,3 ), D( 3,2,4 ).
Решение. Рассмотрим три вектора :
.
Найдем смешанное произведение этих векторов:
Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, тогда
VABCD = .
Задание 2.1.
1. Дан равносторонний треугольник АВС. Найти построением векторы .
В треугольнике ОАВ проведена медиана ОС. Доказать, что .
3. При каких значениях α и β векторы иколлинеарны ?
4. По данным векторам ипостроить каждый из следующих:.
5. Заданы векторы ,,. Найти : координаты вектора; разложение векторапо базису () .
6. Дан треугольник АВС . На стороне ВС расположена точка М так, что . Найти, если.
7. В трапеции ABCD . Выразитьчерез .
8. Вне плоскости треугольника АВС взята точка О . Построить векторы .
9. ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей. Выразить через векторы.
10. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и. Выразить черезивекторы.
Выразить векторы–медианы треугольника АВС через два вектора - стороны его.
12. ABCD- параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей , . Выразить черезвекторы.
13. ABCD - параллелограмм, . Выразить черезивекторы, гдеМ - точка пересечения диагоналей.
14. ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения его диагоналей . Выразить через векторы.
15. В треугольнике АВС сторона АВ точками М и Р разделена на три части так, что . Найти вектор, если.
16. ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед с основанием ABCD . Выразить векторы ВD1 и DВ1 через .
17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ( S - вершина ). Выразить через векторы , совпадающие с остальными ребрами пирамиды.
18. На основании треугольникаОАВ отложен отрезок . Выразить векторчерез векторы.
19. В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 дано: . Выразить черезвекторы, совпадающие с ребрами этой призмы.
20. Основание АВ треугольника разделено точкой М в соотношении 2 : 3 . Выразить вектор через.
21. Треугольник АВС построен на векторах итак, что. Выразить черезивекторы, совпадающие с медианами данного треугольника.
22. В ромбе АВСD даны диагонали . Разложить по этим векторам все векторы , совпадающие со сторонами ромба :.
23. - медианы треугольникаАВС . Доказать равенство .
24. Заданы векторы . Найти координаты вектора.
25. Заданы векторы . Найти координаты вектора.
26. Дан вектор . Найти вектор, если.
27. Найти длину вектора .
28. М – точка пересечения медиан треугольника АВС , О - произвольная точка пространства. Доказать равенство .
29. Даны векторы и. Проверить следующую формулу.
Проверить на рисунке следующие формулы : .
Задание 2.2.
Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется :
1) найти векторы и их модули ;
2) найти угол между векторами ;
3) найти площадь грани АВС ;
4) найти объем пирамиды .
А ( 2,-3,1 ) , В ( 6,1,-1 ) , С ( 4,8,-9 ) , D ( 2,-1,2 ).
А ( 5,-1,-4 ) , В ( 9,3,-6 ) , С ( 7,10,-14 ) , D ( 5,1,-3 ).
А ( 1,-4,0 ) , В ( 5,0,-2 ) , С ( 3,7,-10 ) , D ( 1,-2,1 ).
А ( -3,-6,2 ) , В ( 1,-2,0 ) , С ( -1,5,-8 ) , D ( -3,-4,3 ).
А ( -1,1,-5 ) , В ( 3,5,-7 ) , С ( 1,12,-15 ) , D ( -1,3,-4 ).
А ( -4,2,-1 ) , В ( 0,6,-3 ) , С ( -2,13,-11 ) , D ( -4,4,0 ).
А ( 0,4,3 ) , В ( 4,8,1 ) , С ( 2,15,-7 ) , D ( 0,6,4 ).
А ( -2,0,-2 ) , В ( 2,4,-4 ) , С ( 0,11,-12 ) , D ( -2,2,-1 ).
А ( 3,3,-3 ) , В ( 7,7,-5 ) , С ( 5,14,-13 ) , D ( 3,5,-2 ).
А ( 4,-2,5 ) , В ( 8,2,3 ) , С ( 6,9,-5 ) , D ( 4,0,6 ).
А ( -5,0,1 ) , В ( -4,-2,3 ) , С ( 6,2,11 ) , D ( 3,4,9 ).
А ( 1,-4,0 ) , В ( 2,-6,2 ) , С ( 12,-2,10 ) , D ( 9,0,8 ).
А ( -1,-2,-8 ) , В ( 0,-4,-6 ) , С ( 10,0,2 ) , D ( 7,2,0 ).
А ( 0,2,-10 ) , В ( 1,0,-8 ) , С ( 11,4,0 ) , D ( 8,6,-2 ).
А ( 3,1,-2 ) , В ( 4,-1,0 ) , С ( 14,3,8 ) , D ( 0,7,7 ).
А ( 8,3,-1 ) , В ( -7,1,1 ) , С ( 3,5,9 ) , D ( 0,7,7 ).
А ( 2,-1,-4 ) , В ( 3,-3,-2 ) , С ( 13,1,6 ) , D ( 10,3,4 ).
А ( 4,5,-5 ) , В ( -3,3,-3 ) , С ( 7,7,5 ) , D ( 4,9,3 ).
А ( -2,-3,2 ) , В ( -1,-5,4 ) , С ( 9,-1,12 ) , D ( 6,1,10 ).
А ( -3,4,-3 ) , В ( -2,2,-1 ) , С ( 8,6,7 ) , D ( 5,8,5 ).
А ( 3,2,-6 ) , В ( 0,-5,1 ) , С ( -2,1,0 ) , D ( 4,-1,3 ).
А ( 4,-1,0 ) , В ( -1,2,-3 ) , С ( 2,1,-2 ) , D ( 3,4,5 ).
А ( -3,6,3 ) , В ( 1,5,-7 ) , С ( -2,7,3 ) , D ( 1,-1,2 ).
А ( 1,1,-1 ) , В ( 2,3,1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -3,-7,6 ).
А ( 2,3,1 ) , В ( 4,1,-2 ) , С ( 6,3,7 ) , D ( -5,-4,8 ).
А ( 2,3,8 ) , В ( 2,-2,4 ) , С ( -1,1,3 ) , D ( 1,1,2 ).
А ( 2,-1,2 ) , В ( 1,2,-1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -5,3,7 ).
А ( -13,-8,16 ) , В ( 5,2,6 ) , С ( 3,0,-3 ) , D ( 1,2,0 ).
А ( 14,4,5 ) , В ( -5,-3,2 ) , С ( -2,-6,-3 ) , D ( -1,-8,7 ).
А ( -6,5,5 ) , В ( 4,-8,-4 ) , С ( -1,7,1 ) , D ( -2,0,-4 ).
Задание 2.3.
Даны три вектора ,,. Найти :
косинус угла между векторами и;
выяснить компланарны ли вектора ,,;
если вектора ,,компланарны, найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, как на сторонах, а если,,некомпланарны – найти объем параллелепипеда, построенного на векторах,,, как на ребрах.
( 2,1,1 ) , ( 19,11,17 ) ,( 7,4,6 ) .
( -2,4,-1 ) , ( 0,-2,-1 ) ,( -7,10,-5 ) .
( -4,7,6 ) , ( -3,3,3 ) ,( 3,0,-1 ) .
( 1,-2,1 ) , ( 3,3,1 ) ,( 1,1,1 ) .
( 6,2,6 ) , ( 4,1,1 ) ,( -9,-4,-9 ) .
( -2,-1,0 ) , ( 3,1,-1 ) ,( 5,2,-1 ) .
( 4,3,1 ) , ( 2,2,2 ) ,( 1,-2,1 ) .
( 6,7,4 ) , ( 4,3,1 ) ,( 4,0,-2 ) .
( 1,2,3 ) , ( 3,2,1 ) ,( 1,-3,-7 ) .
( 2,3,4 ) , ( 1,-1,-3 ) ,( 3,2,1 ) .
( 1,5,2 ) , ( -1,1,-1 ) ,( 1,1,1 ) .
( 2,3,4 ) , ( 3,1,-1 ) ,( 3,2,1 ) .
( 2,3,1 ) , ( 2,2,2 ) ,( -1,0,-1 ) .
( 3,1,3 ) , ( 4,1,1 ) ,( -9,-4,-9 ) .
( 4,3,6 ) , ( -1,-2,-1 ) ,( 2,1,2 ) .
( 4,-1,1 ) , ( 3,0,1 ) ,( 8,-3,1 ) .
( -1,1,1 ) , ( 6,1,8 ) ,( 3,0,3 ) .
( 0,1,3 ) , ( -5,-4,-5 ) ,( 2,1,2 ) .
( -6,-1,4 ) , ( -7,-3,1 ) ,( -4,-1,2 ) .
( 2,4,3 ) , ( 0,1,1 ) ,( 6,11,8 ) .
( 4,3,5 ) , ( 3,3,4 ) ,( 8,5,9 ) .
( 4,1,2 ) , ( 1,1,-1 ) ,( 9,2,5 ) .
( 2,1,1 ) , ( -1,-1,-1 ) ,( 2,1,2 ) .
( 1,0,-1 ) , ( 8,3,-2 ) ,( 3,1,-1 ) .
( 4,3,1 ) , ( -2,-4,-3 ) ,( 6,7,4 ) .
( 2,4,3 ) , ( -2,-2,-3 ) ,( 3,10,5 ) .
( 4,2,4 ) , ( -2,0,-2 ) ,( 5,3,4 ) .
( 4,7,5 ) , ( 2,3,2 ) ,( 2,0,-1 ) .
( 7,3,4 ) , ( -1,-2,-1 ) ,( 4,2,4 ) .
( 2,1,2 ) , ( 6,3,4 ) ,( -1,-2,-1 ) .