- •Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.2. Решение систем линейных уравнений
- •Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений , равносильная данной. Неизвестныеxи y можно выразить через z:
- •2. Векторы и операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов иназывается число.
- •3. Прямая на плоскости
- •Координаты точки м(X, y), которая делит отрезок между точкамиМ1(x1,y1) иМ2(x2,y2) в отношенииλ , находятся по формулам
- •Основные виды уравнений прямой на плоскости.
- •4. Прямая и плоскость в пространстве
- •Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей
4. Прямая и плоскость в пространстве
Основные виды уравнений плоскости.
1) -общее уравнение плоскости ;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точкуМ1( x1, y1, z1 ) перпендикулярно нормальному вектору ;
3) -уравнение плоскости в отрезках, где а, b, с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох ,Оy, Оz соответственно ;
4) -уравнение плоскости, проходящей через три точки М1( x1, y1, z1 ) , М2( x2, y2, z2 ) , М3( x3, y3, z3 ).
Основные виды уравнений прямой.
1) -общее уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей , где направляющий вектор прямой находится из векторного произведения нормальных векторов плоскостей
;
2) -каноническое уравнение прямой или уравнение прямой , проходящей через точку М1( x1, y1, z1 ) параллельно вектору ;.
3) - уравнение прямой, проходящей через две точки М1( x1, y1, z1 ) и М2( x2, y2, z2 );
4) -векторное уравнение прямой, где - радиус-вектор точки, лежащей на прямой,- направляющий вектор прямой, или в параметрической форме.
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.
Угол между двумя прямыми, заданными в канонической форме , определяется как угол между их направляющими векторами
.
Угол между прямой и плоскостью определяется так :
.
Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2,3) параллельно прямой .
Решение. Так как прямые параллельны, значит направляющий вектор для искомой прямой будет таким же, как и для данной, т.е. . Поэтому применяем каноническое уравнение прямой, проходящей через точкуА (1,2,3) параллельно вектору , т.е..
Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3,5) параллельно прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей: .
Решение. Найдем направляющий вектор заданной прямой через векторное произведение нормальных векторов плоскостей
.
Тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3,5) параллельно вектору будет.
Задача. Дана пирамида АВСD с вершинами А(1,5,7), В(-1,0,1), С ( 3,-2,4 ), D ( 0,1,-1 ). Найти угол между ребром АD и гранью АВС .
Решение. Найдем уравнение грани АВС , т.е. уравнение плоскости, проходящей через три точки А , В и С .
Уравнение ребра AD - уравнение прямой, проходящей через две точки А и D :
.
Тогда угол между ребром и гранью будем находить по формуле угла между прямой и плоскостью:
.
Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,3) и через прямую, данную в виде пересечения двух плоскостей
.
Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей, проходящих через данную прямую . Так как плоскость должна проходить через точкуА, то, подставив ее координаты в уравнение пучка, найдем λ :
.
Теперь, подставив λ в уравнение пучка, получим искомую плоскость:
Задача. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Решение. Параметрически уравнения прямой запишутся в виде . Далее, подставив в уравнение плоскости, найдемt : .
По данному t найдем координаты точки пересечения
.
Задание 4.1.
Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти:
1) Уравнение грани АВС;
2) Уравнение высоты DM, опущенной из точки D на грань АВС;
3) Длину высоты ДМ;
4) Уравнение ребра DC;
5) Угол наклона ребра DC к плоскости АВС.
1. А(-3;-2;-4), B(-4;2;-7), C(5;0;3), D(-1;3;0)
2. A(2;-2;1), B(-3;0;-5), C(0;-2;-1), D(-3;4;2)
3. A(5;4;1), B(-1;-2;-2), C(3;-2;2), D(-5;5;4)
4. A(3;6;-2), B(0;2;-3), C(1;-2;0), D(-7;6;6)
5. A(1;-4;1), B(4;4;0), C(-1;2;-4), D(-9;7;8)
6. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4), D(3;1;-4)
7. A(0;6;-5), B(8;2;5), C(2;6;-3), D(5;0;-6)
8. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1), D(7;-1;-8)
9. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4), D(9;-2;-10)
10. A(3;4;-1), B(2;-4;2), C(5;6;0), D(11;-3;-12)
11. A(2;1;3), B(3;-2;-4), C(-1;-3;-2), D(5;-3;4)
12. A(4;1;1), B(-2;-1;3), C(1;-3;-4), D(6;-5;5)
13. A(-3;-2;2), B(0;1;5), C(1;-2;-2), D(-1;9;-2)
14. A(-1;0;4), B(2;2;5), C(3;2;4), D(2;3;1)
15. A(-2;0;5), B(1;-4;-6), C(3;2;4), D(2;3;1)
16. A(2;1;-1), B(0;3;-1), C(5;2;1), D(-2;-1;5)
17. A(2;3;0), B(3;4;1), C(-2;5;-1), D(3;4;-5)
18. A(-3;0;-4), B(2;7;2), C(4;-1;-1), D(-3;-2;7)
19. A(1;-4;-4), B(-1;0;-3), C(2;5;1), D(5;6;-9)
20. A(3;2;0), B(5;-2;-1), C(-4;3;-3), D(2;3;-3)
21. A(1;1;1), B(6;3;2), C(0;7;1), D(2;3;4)
22. A(1;0;-1), B(5;1;1), C(2;6;1), D(3;4;5)
23. A(-1;2;0), B(8;1;1), C(2;7;-1), D(4;3;6)
24. A(-1;-1;0), B(9;2;1), C(0;8;-1), D(4;4;7)
25. A(0;1;0), B(8;2;1), C(1;7;2), D(3;5;1)
Задание 4.2.
Даны координаты точек А, В, С. Требуется:
1) составить каноническое уравнение прямой АВ;
2) составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ;
4) найти следы этой плоскости на координатных плоскостях.
1. A(3;-1;5), B(7;1;1), C(4;-2;1). 2. A(-1;2;3), B(3;4;-1), C(0;1;-1).
3. A(2;-3;7), B(6;-1;3), C(3;-4;3). 4. A(0;-2;6), B(4;0;2), C(1;-3;2).
5. A(-3;1;2), B(1;3;-2), C(-2;0;-2). 6. A(-2;3;1), B(2;5;-3), C(-1;2;-3).
7. A(-4;0;8), B(0;2;4), C(-3;-1;4). 8. A(1;4;0), B(5;6;-4), C(2;3;-4).
9. A(4;-4;9), B(8;-2;5), C(5;-5;5). 10. A(5;5;4), B(9;7;0), C(6;4;0).
11. A(3;0;4), B(5;2;6), C(2;3;-3). 12. A(3;-2;2), B(-3;1;2), C(-1;2;1).
13. A(1;-1;1), B(-2;1;3), C(4;-5;-2). 14. A(3;-1;2), B(4;-1;-1), C(2;0;2).
15. A(-1;2;1), B(-3;1;2), C(3;-2;2). 16. A(9;-11;5), B(7;4;2), C(-7;13;-3).
17. A(2;4;-1), B(2;-4;2), C(3;6;0). 18. A(-4;-2;-5), B(1;8;-5), C(0;4;-4).
19. A(-2;4;-6), B(0;-6;1), C(4;2;1). 20. A(4;6;-1), B(7;2;4), C(-2;0;-4).
21. A(3;3;0), B(-1;2;-4), C(-9;7;8). 22. A(7;2;4), B(-2;0-4), C(3;1;-4).
23. A(8;2;5), B(2;6;-3), C(5;0;-6). 24. A(0;-6;1), B(4;2;1), C(7;-1;-8).
25. A(1;8;-5), B(0;4;-4), C(9;-2;-10).
Задание 4.3.
Даны уравнение прямой в виде пересечения двух плоскостей и координаты точки А. Требуется:
1) составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и точку А;
2) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельно оси ОX;
3) найти угол между полученной прямой и плоскостью;
4) найти расстояние от начала координат до плоскости.
1. 2x-y-3z=-1 A(3;0;2)
x+5y+z=0
2. x+2y+3z=1 A(1;2;0)
2x-3y+2z=9
3. x+y - z=1 A(-1;2;1)
8x+3y-6z=2
4. x+y-z=-2 A(2;-3;0)
4x-3y+z=1
5. 2x+5y-3z=4 A(0;4;-2)
4x-3y+2z=9
6. 2x+7y-z=8 A(-3;0;5)
x+2y+z=4
7. 3x+4y+2z=8 A(1;3;0)
x+5y+z=0
8. x-4y-2z=-3 A(5;1;-2)
3x+y+z=5
9. x+y-z=1 A(-2;0;1)
x+2y+z=4
10. 3x+y+z=5 A(0;-5;2)
4x-3y+z=1
11. x+4y-5z=-1 A(2;-1;2)
2x-y+3z=-2
12. x+y-2z=-1 A(2;0;-1)
3x-y+z=2
13. 2x-y+z=3 A(1;1;-2)
2x+4y-z=4
14. x+2y-3z=1 A(0;2;1)
2x-y+2z=-2
15. 3x-y+z=-2 A(1;-1;2)
x+2y-z=1
16. 2x-y+3z=6 A(1;2;4)
x+2y-z=-3
17. 3x+y+z=4 A(1;3;2)
x +3z=5
18. 3x+2y-5z=4 A(2;1;2)
x-2y+3z=4
19. 3x-5y+z=8 A(-1;2;3)
2x+y-z=-2
20. 2x-3y-3z=9 A(2;-5;3)
x-2y+z=-3
21. x+y+z=3 A(1;1;7)
2x-3y+z=5
22. x-y+2z=4 A(1;2;1)
2x+y+z=3
23. x+y+2z=5 A(1;1;1)
3x+y+3z=-2
24. x+2y-3z=3 A(1;2;0)
x+3y+z=2
25. x+y+z=1 A(0;1;2)
x-3y+2z=10