методичка по економетрії

21

b) середні суми відхилень квадратів значень ряду від середньої очікуваної величини;

с) середню суму квадратів відхилень значень ряду від середньої очікуваної величини;

4. Частота характеризує:

а) середню кількість повторювань значення в варіаційному ряді; b) кількість повторювань значення в варіаційному ряді;

с) повторювання середніх у варіаційному ряді.

5. Медіана варіаційного ряду дорівнюватиме:

а) 8; b) 15; с) 9.

Лабораторна робота № 2 (4 години)

Тема: “Проста вибіркова лінійна регресія”

Мета роботи: Навчитись будувати економетричні моделі на основі простої лінійної регресії

Завдання:

1. Скласти таблицю вхідних даних за формою табл.1.

Таблиця 1

№ п/п	у	х

За змінну у взяти значення економічних показників із варіантів лабораторної роботи №1. Значення х – із табл.2

Таблиця 2

22

1	варіант х - Оборотність кредиторської заборгованності, об.
1,3			1,8		2,7	2,6	2,9	3,3	3,7	3,9		4,2	4,5
2	варіант х - Оборотність дебіторської заборгованності, об.
1,6			1,7		1,9	2,5	2,8	3,9	4,9	5,0		5,2	5,8
3	варіант х - Середній залишок оборотних коштів, тис.грн.
123			124		164	175	185	193	193	197		205	209
4	варіант х - Середній залишок запасів, тис.грн.
65			66		74	79	83	86	95	108		110	114
5	варіант х - Прибуток на 1 середньорічного працівника, тис.грн.
0,6			0,9		1,5	1,8	1,9	1,9	2,8	2,9		2,9	4,0
6		варіант х - Питома вага управлінського персоналу в структурі
працівників, %
64			63		52	47	35	30	23	16		12	11
7	варіант х - Питома вага робітників в структурі працівників, %
118			112		108	99	92	88	87	83		78	68
8	варіант х - Кількість мінеральних добрив на 10 га, ц.д.р
20,3			19,8		18,9	16,7	14,3	12,1	11,2	10,0		10,0	9,9
9	варіант х - Кількість внесення азотних добрив на 10 га, ц.д.р
16,5			17,0		17,2	18,9	19,7	21,0	26,8	27,5		29,2	36,7
10		варіант х - Кількість внесення фосфорних добрив на 10 га, ц.д.р
3,9			3,9		4,9	5,0	5,1	59	6,8	6,9		8,0	9,8
11		варіант х - Кількість внесення калійних добрив на 10 га, ц.д.р
3,3			4,7		5,4	5,8	6,1	6,0	6,2	8,7		10,9	16,0
12		варіант х - Затрати праці на 1 середньорічного працівника, люд.-год.
2,1			2,3		2,9	3,5	4,1	5,9	6,1	7,8		9,9	10,7
13		варіант х - Кількість внесення органічних добрив на 10 га, т
320			340		350	370	400	421	423	433		445	445
14		варіант х - Валовий збір з 1 га, ц
354			346		375	574	384	465	534	756		765	778
15		варіант х - Прибуток (збиток) на 1 середньорічного працівника, тис.грн.
5,6			7,6		8,8	8,7	9,4	10,3	8,5	9,2		10,8	9,4

2.Знайти коефіцієнти b і b0 рівняння регресії у = b0 + b*х +e. Розрахунки звести в таблицю.

3.Розробити структурну схему отриманої економетричної моделі.

4.Розрахувати коефіцієнт кореляції і коефіцієнт детермінації.

5.Визначити максимальне і мінімальне значення у на досліджуваному інтервалі. Використовуючи побудовану модель знайти при якому значенні змінної х максимальне значення змінної у збільшиться на 5%, 10% і 15%.

6.Знайти, чому буде дорівнювати змінна х при у – середньму

23

арифметичному значенню по досліджуваному інтервалу значень.

7.Дати економічну характеристику отриманих результатів.

8.Скласти таблицю ANOVA-аналізу і оцінити адекватність моделі.

Приклад

Побудувати модель залежності витрат на відпустку (у) від кількості

чоловік в родині (х). Початкові дані наведені в табл.3

																												Таблиця 3
	Кількість чоловік в родині (х)																				Витрати на відпустку (у)
					1																			16
					2																			12
					2																			23
					4																			19
					6																			30
						x	3																	y	20
1.Вихідна таблиця розрахунків коефіцієнтів регресії
		хі										уі								хіуі		хі2					y€	еі=уі-y€
																											i		i
		1								16										16		1				14,74		1,26
		2								12										24		4				17,37		-5,37
		2								23										46		4				17,37		5,63
		4								19										76		16				22,63		-3,63
		6								30										180		36				27,89		2,11
Всього:		15								100										342		61				100		0
				1		n
						(xi					x	)(yi				y	)			342 15 100/5				42
		b	n																								2,63.
						i 1
										n
		1					1													61 225/5				61 45
									(xi				x	)2
							n
										i 1

b0 y bx 20 2,63 3 12,11.

Таким чином, y€ b0 b xi 12,11 2,63xi +ei.

24

2. Структурна схема:

	b0
у	хі0=1	xi

+1,0 b

еi

3. Коефіцієнт кореляції – відносна міра зв’язку між факторами у і х:

ryx

Коефіцієнт детермінації

1

n

(xi

x)(yi

y)

n i 1

0,76

1

n

1

n

(xi

x)2

(yi

y)2

n i 1

n i 1

– частина дисперсії, що пояснює регресію

									2	0,58;
			R2						регр.
								2
									заг.
			n
регр2 .		(y€i			y)2			– загальна дисперсія;
		i 1
			n
			n
заг2 .			(yi			y)2			– дисперсія, що пояснюється регресією
			i 1
			n

4. Виходячи з отриманих результатів, можна сказати, що витрати на відпустку збільшаться на 2,63 у.од. при збільшенні членів родини на 1

чоловіка. Зв’язок між даними факторами прямий (про це свідчить

позитивний коефіцієнт b), щільність – середня (оскільки коефіцієнт кореляції знаходиться в межах від 0,5 0,75. Вплив фактору х оцінюється 58% на змінну у, про що свідчить коефіцієнт детермінації.

5. Складемо базову таблицю ANOVA-аналізу

	Джерело	Кількість
		ступенів	Сума квадратів		Середні квадрати
	варіації
		вільності
			n
	Регресія (за		SSR (y€i	y)2	n				2
		1			MSR (y€	y)				/1
	моделлю)		i 1
					i
					i 1

25

Не включене		n			2
	n-2	SSE (yi y€i)				n	2	/(n 2)
в регресію		i 1				MSE (yi y€i )
(помилки)						i 1
		n		2
Загальне	n-1	(yi	y)
		i 1

де n – кількість спостережень.

6. Критерій Фішера свідчить про адекватність моделі. Він дорівнює:

MRS

F(1,n 2) MSE 4,14;

За таблицею F-розподілу знайдемо критичне значення Fкр з ступенями вільності 1 і 3 (f1 i f2) і рівнем значимості 0,05 (5%). Це буде точка 10,13.

Розрахований коефіцієнт менший ніж критичне значення, тоді можна говорити, що модель не є адекватною і відображує залежність з похибкою більшою ніж 5%.

Контрольні питання:

1.Як записується рівняння простої лінійної регресії.

2.Який економічний зміст рівняння простої лінійної регресії.

3.Як охарактеризувати коефіцієнт а0.

4.Як охарактеризувати коефіцієнт а1.

5.Як розраховується коефіцієнт кореляції.

6.Який економічний зміст має коефіцієнт кореляції.

7.Як розраховується коефіцієнт детермінації.

8.Який економічний зміст коефіцієнта детермінації.

9.Які види стандартних відхилень існують.

10.В чому полягає проведення ANOVA-аналізу.

11.Дайте визначення довірчий імовірності та довірчого інтервалу.

12.Що характеризує кількість ступенів вільності.

13.Що характеризує рівень значимості моделі.

14.Що таке адекватність економетричної моделі.

15.Як визначається критерій Фішера.

16.Як проводиться оцінка адекватності за критерієм Фішера.

26

Тестові завдання для самоконтролю:

1.Коефіцієнт кореляції між витратами часу (у) та прибутком підприємства (х) дорівнює 0,82. Чи можна стверджувати, що зв’язок між факторами:

a)прямий;

b)обернений;

c)відсутній.

2.Кількість ступенів вільності залежить від:

a)кількості факторів, вибірки даних

b)кількості зв’язків, кількості факторів

c)вибірки даних, кількості зв’язків

3.Чи існує зв’язок між рівнем значимості та довірчою імовірністю:

a)так;

b)ні.

4.Чи можна чітко встановити пряму та обернену регресії у випадку багатофакторного зв’язку:

a)так;

b)ні.

5.Для якого випадку діаграми розсіювання можна стверджувати,

що кореляція відсутня:

a) b). c).

27

Лабораторна робота № 3

(4 години)

Тема: “Нелінійна регресія. Криві зростання”

Мета роботи: Засвоїти методику дослідження економічних процесів на основі побудови нелінійних регресійних рівнянь. Вивчити способи перетворення нелінійних моделей у лінійний вигляд.

Хід роботи

Відповідно до вказаного викладачем варіанту побудувати нелінійну модель залежності економічних факторів. Для цього виконайте наступні дії:

1. Побудувати графік залежності результуючого фактору “у” від незалежного фактору “х”. Поясніть основні тенденції зростання (зменшення)

значень фактору “у” при зміні значень фактору “х”.

2.На основі запропонованої (по варіанту) моделі запишіть загальну математичну форму нелінійної залежності.

3.Методом заміни змінних перетворіть нелінійну залежність у залежність лінійної форми. На основі методу найменших квадратів запишіть систему рівнянь з елементами заміни. Розрахуйте коефіцієнти рівняння.

4.Виконайте зворотне перетворення від лінійної до нелінійної форми.

Запишіть остаточний вираз нелінійної залежності. Поясніть економічний зміст отриманих коефіцієнтів регресії.

5. Визначить еластичність досліджуваних економічних факторів і достовірність отриманої моделі на основі коефіцієнту детермінації. Поясніть отримані результати.

Варіанти завдань:

Варіант 1 (логарифмічна крива)

	Доход громадян,	х	1,64	2,44	3,57	5,21	7	9,18	11,73	13,82	16	19,04
	тис. грн.
	Розмір кредитної	у	2	8,4	12,4	15,8	18,3	20,4	22,7	24	25,4	25,7
	ставки, %

												28
Варіант 2 (поліном 2 степені)
Обсяг виробництва	х	1,64		2,44	5,67	8,5	10,54	13,2	15,24	16,37	17,22	18,07
яблук, тис. т
Індекс цін	у	4		3,9	3,5	3,5	4,3	6,7	11,9	15,6	19,3	25,7
Варіант 3 (експонента)
Затрати на
виробництво	х	1,64		2,44	3,57	5,21	7	9,18	11,73	13,82	16		19,04
цукру, тис. грн.
Валовий дохід від
виробництва цукру,	у	6,5		6,7	7	8,6	11,2	13,8	17,9	21,6	27		34
тис. грн.
Варіант 4 (степенева функція)
Рівень безробіття,	х	1,75		2,38	4,83	6,28	7	9,18	10,54	11,49	12,42	12,77
%
Рівень заробітної	у	2,4		2,9	4,69	6,85	8,2	12,28	16,15	18,68	21,9	23,6
плати, тис. грн.
Варіант 5 (поліном 3 степені)
Доход громадян,	х	1,64		2,44	5,67	8,5	10,54	13,2	15,24	18,1	21	24,08
тис. грн.
Рівень цін	у	25,3		17,4	9	5,4	4,3	3,3	3,3	3	3,3	3,3
Варіант 6 (поліном 3 степені)
Індекс інфляції	х	0,5		2,38	4,83	6,28	6,91	7,46	7,89	8,14	8,44	8,77
Рівень заробітної	у	467		420	420	665	800,2	1300		1600,21800,72100,92300,6
плати, грн.
Варіант 7 (степенева функція)
Затрати у
тваринництві, тис.	х	3,8		4,7	7,48	10,2	11,6	13,7	15,24	18,1	21	24,08
грн.
Прибуток від
реалізації продукції	у	25,3		17,4	9	5,4	4,3	3,3	3,3	3	2,2	1,8
тваринництва, тис.
грн.

																		29
Варіант 8 (експонента)
Обсяг сплачених		х	0,5	1,32		4,2		5,55		6,91		7,46		7,89		8,14	8,44	9,53
податків, тис. грн.
Прибуток
підприємств, тис.		у	1768	1440		1004		843		780		752		757		736	730	680
грн.
Варіант 9 (логарифмічна крива)
Середньорічний
рівень доходів, тис.		х	5,5		6,4		7,48		10,6		12,8		15		16,2	19,1	21	24,08
грн.
Відсоток
депозитних		у	25,3		22		19,1		12,9		7,4		4,5		3,3	1,4	1,3	1,1
вкладів, %
Варіант 10 (степенева функція)
Затрати на
виробництво 1 л		х	1,05		1,24		1,35		1,54		2,00		2,18		2,49	2,70	2,77	2,83
молока, грн.
Виручка від		у	5,2		6,7		7		8,6		12,8		15,3		19,7	22,5	27	34
реалізації, тис. грн.
Варіант 11 (експонента)
Рівень запасів на		х	0,5		1,32		4,2		5,55		6,91		7,46		7,89	8,14	8,44	8,68
складах, %
Прибуток
підприємств, тис.		у	29,5		32		39,8		43,3		49,5		52		57	61	67,1	80
грн.
Варіант 12 (поліном 2 степені)
Обсяг виробництва		х	1,6	3,4		5,7		7,4		10,1		10,8		14,1		16,4	17,2	18,1
картоплі, тис. т
Індекс цін		у	16,4	12,2		8,8		7,1		3,3		3,0		3,0		4,1	4,5	5,1
Варіант 13 (степенева функція)
Індекс цін		у	1,6		1,7		1,8		2,2		2,6		3,2		3,9	4,4	4,6	4,7
Середньорічна
заробітна плата,		х	428		446		477		547		592		647		699	742	744	745
грн.

												30
Варіант 14 (степенева функція)
Рівень запасів на	х	0,9		1,82	4,7	6,55	7,91	9,46	10,9	8,4	8,4	12,68
складах, %
Прибуток
підприємств, тис.	у	29,5		32	39,8	43,3	49,5	52	57	61	67,1	80
грн.
Варіант 15(поліном 2 степені)
Затрати на
виробництво 1 л	х	4,05		4,24	4,35	4,54	8,00	7,18	6,49	3,70	4,77	4,83
молока, грн.
Виручка від	у	5,2		6,7	7	8,6	12,8	15,3	19,7	22,5	27	34
реалізації, тис. грн.

Контрольні питання:

1.Дайте визначення поняття нелінійної залежності економічних

факторів.

2.Які види кривих зростання існують в економіці.

3.Поясніть метод заміни змінних при перетворенні нелінійної форми залежності у лінійну.

4.Який зв’язок між коефіцієнтами нелінійної моделі та коефіцієнтом еластичності.

5.Дайте визначення та поясніть економічний зміст степеневої залежності факторів.

6.Дайте визначення та поясність економічний зміст логарифмічної залежності факторів.

7.Дайте визначення та поясність економічний зміст залежності факторів поліноміального типу.

8.Дайте визначення та поясність економічний зміст експоненціальної залежності факторів.

9.Які базові моделі економіки побудовані на основі кривих зростання вам відомі.