методичка по економетрії

51

a)0,9 ;

b)-0,5;

c)0,4;

d)-0,7.

Лабораторна робота № 6 (4 години)

Тема: “Лінійні моделі з наявною мультиколінеарністю, їх оцінка та методи усунення”

Мета роботи: навчитись визначати наявність мультиколінеарності у лінійних моделях. Засвоїти методи оцінки моделей і усунення мультиколінеарності.

Завдання:

Відповідно до номера варіанту визначити:

1.Наявність мультиколінеарності у запропонованій залежності y = f(x1,x2, х3). Y звяти з лабораторної роботи №1, а х1, х2 та х3 наведено в наступній таблиці.

2.Побудувати економетричну модель без мультиколінеарності.

1 варіант

	х1	- валова продукція на 1	3,2	2,1	5,8	9,5	7,4	1,6	5,8	1,6	7,5	4,6
	середньорічного працівника, грн.
	х2	- середній залишок оборотних	4,6	7,9	8,4	4,6	5,7	1,9	2,5	5,6	3,8	4,9
	коштів, тис.грн.
	х3	- оборотність кредиторської	3,0	2,9	5,4	3,0	4,2	1,2	1,6	3,6	2,4	3,2
	заборгованості, дн.
	2 варіант
	х1	- прибуток на 1	2,5	3,8	5,1	6,4	7,7	9	10,3	11,6	12,9	14,2

											52
	середньоспискового працівника,
	тис. грн.
	х2 - середній залишок оборотних	5,8	4,9	6,8	5,2	5,4	5,9	6,1	8,2	7,9	9,6
	коштів, тис.грн.
	х3 - оборотність дебіторської	7,5	6,3	8,7	7,6	6,9	6,6	7,6	10,5	10,2	12,3
	заборгованості, дн.
	3 варіант
	х1 - коефіцієнт фінансової	0,75	0,95	0,95	0,56	0,87	0,95	0,68	0,79	0,85	0,79
	незалежності
	х2 - виробничі витрати на 1	8,7	11,3	14,7	19,1	24,8	32,3	42,0	54,6	71,0	92,3
	середньоспискового
	працівника,тис.грн.
	х3 - середній залишок оборотних	11,2	14,5	18,9	7,6	31,9	6,6	7,6	70,2	91,2	118,6
	коштів, тис.грн.
	4 варіант
	х1 - коефіцієнт співвідношення	0,75	0,2	1,25	0,56	1,2	1,5	0,68	0,79	0,85	0,79
	власних і залучених коштів
	х2 - адміністративні витрати на 1	0,5	1,1	1,7	2,3	2,9	3,5	4,1	4,7	5,3	5,9
	управлінця, тис.грн.
	х3 - середній залишок запасів,	0,6	1,4	2,4	7,6	3,7	6,6	7,6	6,0	6,8	7,6
	тис.грн.
	5 варіант
	х1 - коефіцієнт термінової	1,96	1,9	1,8	1,67	1,9	1,5	2,1	1,92	1,94	1,72
	ліквідності
	х2 - адміністративних витрат на 1	12,5	15,9	16,8	14,3	14,9	16,9	16,1	16,7	17,3	16,7
	управлінця, тис.грн.
	х3 - прибуток на 1 середньорічного	25,0	31,8	33,6	28,6	29,8	29,6	30,1	30,5	32,5	33,4
	працівника, тис.грн.
	6 варіант
	х1 - поточний коефіцієнт покриття	1,9	1,7	1,8	1,67	1,86	1,5	2,1	1,79	1,82	1,72
	х2 - питома вага власного	48,2	49,7	42,5	40,1	45,1	25,7	37,2	38,7	50,2	48,5
	капіталу у структурі майна,%
	х3 - питома вага найбільш	24,1	24,9	21,3	20,1	22,6	12,9	18,6	19,4	20,1	19,3
	ліквідних активів в структурі
	активів, %
	7 варіант
	х1 - питома вага адміністративних	33	37	29	25	26	28	30	41	36	28
	витрат в структурі витрат, %
	х2 - виробничих витрат на 1	5,8	6,1	6,3	6,6	6,9	7,2	7,4	7,7	8,0	8,2
	середньорічного працівника,
	тис.грн.
	х3 - питома вага управлінців в	18,6	19,4	20,3	22,8	22,0	22,9	21,7	24,6	25,5	26,3
	структурі працівників, %
	8 варіант
	х1 - урожайність зернових, ц/га	171	180	199	187	199	210	199	199	205	199
	х2 - кількість органічних добрив	15,7	14,2	13,9	14,9	15,8	17,6	14,2	16,0	15,8	14,2
	на 10га, ц.д.р.
	х3 - кількість мінеральних добрив	9,8	8,9	8,7	9,3	10,1	11,2	8,9	10,0	9,9	8,9
	на 10 га, ц.д.р
	9 варіант
	х1 - середній вихід продукції	234	256	284	301	276	250	289	269	310	310

																			53
	рослинництва на 10 га, ц
	х2 - кількість фосфорних добрив	18,0		18,9		17,9		17,6		17,2		17,9		17,5		17,9	17,7		17,8
	на 10 га, ц.д.р.
	х3 - кількість внесення азотних	17,0		17,8		16,9		16,9		16,2		16,9		16,5		17,2	16,7		16,9
	добрив на 10 га, ц.д.р.
	10 варіант
	х1 - середньорічний надій молока	4100		3700		4100		4222		5001		5200		4022		4310	4100		3890
	на 1 гол., ц
	х2 - продуктивність праці на 1					531,0500,4450,0459,0531,0609,1621,0550,6567,0592,2
	середньорічного працівника,
	люд.-год.
	х3 - рівень механізації робіт, %	59,0		55,6		50,0		51,0		59,0		67,8		69,0		61,9	63,0		65,8
	11 варіант
	х1 - питома вага запасів у	13		17		15		10		11		18,4		19		15,3	18		16
	структурі активів, %
	х2 - вихід валової продукції					182,4172,8185,6195,2192,0198,4180,6188,8199,6185,6
	рослинництва з 1 га, ц
	х3 - кількість внесення калійних	5,7		5,4		5,8		6,1		6,0		6,2		5,7		5,9	6,3		5,7
	добрив на 10 га,ц.д.р
	12 варіант
	х1 - виручка від реалізації на 1	190		210		245		189		194		220		175		220	196		220
	середньорічного працівника, грн.
	х2 - виробничі витрати на 1	77,1		68,9		71,4		66,9		114,0		70,1				128,5108,3122,0100,9
	середньорічного працівника,
	тис.грн.
	х3 - затрати праці на 1					270,0241,0250,0219,0399,0241,0458,0379,0427,0353,0
	середньорічного працівника,
	люд.-год.
	13 варіант
	х1 - урожайність цукрових	371		372		421		344		378		344		340		344	342		360
	буряків, ц/га
	х2 - кількість внесення	7,6		7,3		7,6		7,1		7,2		6,6		7,0		6,5	7,1		7,6
	неорганічних добрив на 10 га,
	ц.д.р.
	х3 - кількість внесення органічних					310,0300,0300,0305,0302,0270,0289,0267,0290,0312,0
	добрив на 10 га, т
	14 варіант
	х1 - фондовіддача, грн.		567		555		580		490		580		569		580	580		559	537
	х2 - прибуток на 1		6,7		7,2		11,0		7,0		8,9		9,1		13,9	8,9		13,8	12,6
	середньорічного працівника,
	тис.грн.
	х3 - питома вага виробничих						346,0375,0574,0364,0465,0534,0756,0465,0756,0657,0
	витрат у структурі витрат, %
	15 варіант
	х1 - питома вага кредиторської		71,3		71,3		68,9		79,5		77,4		71,3		81,2	71,3		80,9	82,5
	заборгованості у структурі
	пасивів, %
	х2- оборотність запасів, дн		65,4		49,9		57,6		72,2		71,4		73,1		79,1	60,1		60,3	49,0
	х3 - прибуток (збиток) на 1		7,6		5,8		6,7		8,4		8,3		8,5		9,2	5,8		5,4	5,7
	середньорічного працівника,
	тис.грн.

											54
	16 варіант
	х1 - фондозабезпеченість грн./га	23	26	36	33	36	35	41	38	36	36
	х2- питома вага основних фондів	14,1	12,3	13,2	14,9	14,8	14,2	14,9	12,3	9,6	12,2
	у структурі активів, %
	х3 - питома вага власного	7,6	5,8	6,7	8,4	8,3	8,5	9,2	5,8	5,4	5,7
	капіталу у структурі пісивів, %:

Приклад виконання роботи

Отримано набір статистичних даних, що характеризують залежність прибутку підприємства (у, тис.грн.) від виробничих витрат (х1, тис.грн.) і

середньорічних залишків запасів (х2, тис.грн.) та середньої кількості працівників (х3, чол.). Перевірити на наявність мультиколінераності залежність у = f(x1,x2,х3) і знайти методи її усунення.

Таблиця з вхідними даними

Прибуток	Виробничі	Середньорічні	Середня кількость
підприємства	витрати	залишки запасів	працівників
(у, тис.грн.)	(х1, тис.грн.)	(х2, тис.грн	(x3, чол.).
4,2	6,9	6	200
1,5	2,9	5,4	210
2,8	3,5	3,1	230
5,6	9,1	7,2	200
2,5	5,2	4,6	250
3,9	6,5	3,9	240
3,8	2,9	3,8	205
4,6	1,4	2,6	210
4,9	8,8	6,8	230
7,2	11,5	8,5	210
5,3	4,9	1,8	200

1.Знайдемо часткові коефіцієнти кореляції ryx1, ryx2, ryx3 , rx1x2, rx1x3,

rx2x3. і побудуємо кореляційну матрицю.

Побудуємо кореляційну матрицю використовуючи настройку “Аналіз даних – Кореляція” електронної таблиці Excel.

Кореляційна матриця матиме вигляд (табл.2).

55

Таблиця 2

Кореляційна матриця економічних показників

	y	x1	x2	x3
y	1
x1	0,690433	1
x2	0,404724	0,819116	1
x3	-0,40934	-0,01483	-0,0979	1

Після аналізу кореляційної матриці можна зробити висновок, що коефіцієнти х1 і х2 мають велике значення коефіцієнту кореляції і це може свідчити про наявність лінійної залежності між ними. На основі даного висновку можна говорити про наявність мультиколінеарності в даній моделі.

2. Визначимо ступінь колінеарності. У разі відсутності мульти-

колінеарності у моделі множинний коефіцієнт детермінації R2yx1x2х3 буде приблизно дорівнювати сумі часткових коефіцієнтів детермінації R2yx1, R2yx2, R2yx3. Якщо мультиколенеарність присутня, тоді це рівняння виконуватись не буде і у якості виміру мультиколінеарності можна використати змінну М1:

М1 = R2yx1x2x3 – ( R2yx1 + R2yx2 +R2yx3 ).

Чим більше змінна М1 наближатиметься до нуля, тим менша мультиколінеарність.

Знайдемо коефіцієнти детермінації. Для цього використовуємо надстройку “Аналіз даних– Регресія”.

R2yx1x2x3 = 0,754283 (будуємо регресі ю між y та x1, x2, x3)

R2yx1= 0,476698 (будуємо регресі ю між y та x1)

R2yx2= 0,163801 (будуємо регресі ю між y та x2)

R2yx3= 0,167558 (будуємо регресі ю між y та x3)

M1= 0,754283 – 0,476698 – 0,163801 – 0,167558= – 0,053774

Відповідно, до нашого приклада: М1 ненаближається до 0, тому слід вважати наявність мультиколінеарності.

3. Перевіримо інтенсивність мультиколінеарності за формулою:

56

n

R2yi

M2 1 i 12

R y12...n

Відповідно до нашого приклада отримаємо:

		n
		R2 yi		0.476698 0.163801	0.167558
M2	1	i 1				1.07115
		R2 y12...n
			0.754383

Даний коефіцієнт значно більший нуля, тому можна говорити про високу інтенсивність мультиколінеарності.

4. Одним із методів усунення мультиколінеарності є метод виключення змінних за Фарраром та Глаубером.

Процедура відбору змінних складається з трьох кроків. При цьому передбачається нормальне розподілення залишків.

Крок 1. Мультиколінеарність виявляється в загальному вигляді. Для цього будується матриця R коефіцієнтів парної кореляції між пояснюючими змінними та визначається її визначник.

	1	r12	...	r1m
D	r21	1	...	r2m
	...
	rm1	rm2	...	1

rij=cov(xi, xj)/σxi σxj

Кореляційну матрицю можна отримати використовуючи пакет “Аналіз даних” електронної таблиці Excel інструмент “Кореляція”.

	1	0.819116	0.01483
D	0.819116	1	0.0979	0,321622
	0.01483	0.0979	1

Далі для перевірки наявності мульколінеарності взагалі серед пояснюючих змінних використовується хі квадрат критерій χ2 (хі квадрат ).

Висувається нульова гіпотеза Н0: між пояснюючими змінними мультиколінеарність відсутня. Альтернативна гіпотеза Н1:між пояснюючими змінними є мультиколінеарність.

57

Розраховують значення χ2

χ2=–(n-1-1/6*(2*m+5))*lnD

де n–кількість спостережень, m– кількість пояснюючих змінних.

Ця величина має розподіл χ2 з f=1/2*m*(m-1) ступенями вільності.

Якщо розраховане значення χ2 менше за табличне, то Н0 приймається.

вважаємо, що мультиколінеарності між пояснюючими змінними немає.

Інакше . А які данні сильно корелюють визначається на другому кроці. χ2= – (10-1-1/6*(2*2+5))*ln(0,321622)=8,508,

f=1/2*2*(2-1)=1.

Табличне значення χ2=3,841 (при f=1 та α =0,05)

Таким чином (8,508 ≥ 3,841), тому гіпотеза про наявність мультиколінеарності між пояснюючими змінним не суперечить даним дослідження

Крок 2. Використовуються коефіцієнти детермінації між пояснюючими змінними R2k12…k-1k+1…m. Оцінка мультиколінеарності основана на тому,

що величина

F n m Rk2.12...k 1.k 1...,mm 1 1 Rk2.1.2.k 1,k 1,...,m

має F-розподіл з f1=m-1 I f2=n-m ступенями вільності.

Якщо F≥Fα;f1,f2, то змінній xk в найбільшому ступені притаманна мультиколінеарність. По Фаррару і Глауберу вивчення m значень F-

статистик має показувати, які з пояснюючих змінних в більшій мірі підверджені мультиколінеарності.

R2 x1,x2,x3 = 0,675265

F = (10-2)*0,675265/[(2-1)*(1–0,675265)]= 16,6355

F ≥ Fтабл.

R2 x2,x1,x3= 0,678307

F = (10-2)*0,678307/((2-1)*(1-0,678307))= 16,8684

F ≥ Fтабл.

R2 x3,x1,x2= 0,02257

58

F = (10-2)*0,02257/((2-1)*(1–0,02257))=5,367608/0,329049=0,18473

F < Fтабл.

Fтабл .= 5,32 з f1 = m-1 = 2-1 = 1 I f2 = n-m = 10-2=8 ступенями вільності.

F ≥ Fтабл.

Таким чином змінним х1 та х2 в найбільшому ступені притаманна мультиколінеарність

Крок 3. З’ясовується, яка пояснююча змінна породжує мультиколінеарність, та вирішується питання про її виключення з аналізу.

Для цієї цілі розраховується коефіцієнт частинної кореляції rjk12…m (j, k=1,2,…,m; j <> k) між пояснюючими змінними. Змінна y в розрахунок не береться. В якості критерію використовується величина

	rjk12..m
tjk			n m
	1 rjk2		12..m

що має t-розподіл з f = n – m ступенями вільності. Якщо tj,k > tα,f, то між змінними існує колінеарність и одна з них має бути виключеною. При виключенні змінної дослідник має опиратися як на власну інтуїцію, та і на змістовну теорію явища. Якщо tj,k ≤ tα,f, то дані не підтверджують наявність колінеарності між змінними xj та xk .

Знайдемо коефіцієнти частинної кореляції rjk12…m (j, k=1,2,…,m; j<>k)

між пояснюючими змінними. Кореляційна матриця має вигляд.

	x1	x2	x3
x1	1
x2	0,819116	1
x3	-0,01483	-0,0979	1

t0.05;8 = 2,31

r2 123 = r2 12+r213,

r2 231 = r2 23+r2 21

r2 312 = r2 31+r232

1. r2 123

r2 123 = 0,8191162+(–0,01483)2 = 0,671171, r 123 = 0,819225

59

t12 0.81922510 2 4.040761 1 0.671171

t12 > t0.05;8 Між змінними х1 та х2 існує колінеарність.

2. r2 213

r2 231 = (–0,0979)2 + 0,8191162 = 0,68053, r 213 = 0,824946

t23 0.82494610 2 4.12815 1 0.68053

t23 > t0.05;8 . Між змінними х2 та х3 існує колінеарність.

3. r2 312

r2 312 = (–0,01483)2+(–0,0979)2 = 0,009804 = 0,099017

t31 0.09901710 2 0,281445 1 0.009804

t31 < t0.05;8. Між змінними х3 та х1 не існує колінеарність.

Висновок: змінну х2 потрібно вилучити з розгляду. Наша модель буде показувати залежність між y (прибутку підприємства, тис.грн.) та х1

(виробничих витрат, тис.грн.) та х3 (середньої кількості працівників, чол.).

Економетрична модель буде мати вигляд: y = 9,976384 + 0,349471*x1 – 0,03592*x2

Контрольні питання:

1.Поняття мультиколінеарності.

2.Причини виникнення мультиколінеарності.

3.Тестування наявності мультиколінеарності.

4.Методи усунення мультиколінеарності.

Тестові завдання для самоконтролю:

1.Мультиколінеарність наявна, коли:

a)дві чи більше незалежних змінних мають високу кореляцію;

b)значення за теперішній період корелюють зі значеннями за попередні періоди;

c)незалежна змінна виміряна з похибкою.

60

2. Який програмний додаток в середовищі Excel використовують для дослідження регресійних моделей:

a)пакет "Аналіз даних";

b)пакет "Пошук рішення";

c)пакет "Підбір параметра".

3. Для визначення коефіцієнтів багатофакторної моделі використовують матричний метод:

a)головних компонентів;

b)метод Грубера;

c)метод Крамера.

4.Коефіцієнт кореляції має бути:

a)завжди від’ємним;

b)завжди додатнім;

c)завжди більшим 1;

d)завжди меншим 1;

e)не перевищувати значення 1 .

5.Яких значень може набувати коефіцієнт детермінації:

a)Додатних;

b)Від’ємних;

c)Більше одиниці;

d)Менше одиниці;

e)Нуль.