- •Федеральное агентство по образованию
- •Случайное событие
- •Алгебра событий.
- •Элементы комбинаторики
- •Формула полной вероятности.
- •Формула для апостериорной вероятности (формула Байеса)
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины.
- •Совместное распределение случайных величин.
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Коэффициент корреляции
- •Функция распределения, ее свойства.
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Гаусса.
- •Законы больших чисел.
- •Характеристики выборки.
- •Выборочное среднее, выборочная дисперсия.
- •Гистограмма и полигон
- •Оценка характеристик выборки.
- •Точечные оценки
- •Доверительный интервал. Общее понятие.
- •Доверительный интервал математического ожидания. Случай 1.
- •Распределение
- •Доверительный интервал для дисперсии
- •Распределение Стьюдента.
- •Доверительный интервал математического ожидания. Случай 2.
- •Понятие о теории проверки статистических гипотез.
- •Ошибки при проверке гипотез
- •Проверка гипотезы о функции распределения.
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •Литература
Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится вn испытаниях от дораз, приближенно равна
где .
Для вычислений по формуле имеются таблицы. В таблицах приведены значения функции
для положительных значений аргумента. Значения для отрицательных значений аргумента вычисляются по формуле .
Случайные величины.
Часто исход случайного эксперимента выражается некоторым числом. Когда каждому элементарному исходу случайного эксперимента мы ставим в соответствие некоторое число , мы определяем на множестве событий некоторую числовую функцию. Набор чисел может быть конечным или бесконечным: это зависит от количества элементарных исходов эксперимента, то есть от вероятностного пространства. Неформально говоря, такое число, принимающее случайные значения, и называется случайной величиной.
Случайная величина, принимающая конечное число значений, называется конечной случайной величиной. Пусть пространство элементарных исходов конечно: . Вероятность любого случайного события, связанного с данным экспериментом, полностью определяется набором неотрицательных чисел , таких, что . Такое вероятностное пространство можно представить с помощью таблицы
Зададим случайную величину на таком вероятностном пространстве. Поскольку число элементарных исходов конечно, получится конечная случайная величина. Функцию , заданную на конечном числе аргументов, также задаем табличным способом:
Будем предполагать, что все числа различны. Случайная величина принимает значение , если произошел исход , вероятность которого равна . Точнее: вероятность события равна
Конечная случайная величина полностью определяется своими значениями и их вероятностями. Поэтому таблица
,
часто отождествляется с самой случайной величиной и называется законом распределения конечной случайной величины. Часто закон распределения записывают короче:
.
Совместное распределение случайных величин.
Пусть заданы две конечные случайные величины:
,
Событие состоит в том, что одновременно случайная величина принимает значение , а случайная величина - значение . Назовем вероятности таких событий совместными вероятностями и обозначим их через :
Набор точек вместе с совместными вероятностями образуют совместное распределение случайных величин и.
Две конечные случайные величины называются независимыми, если события и независимы при всех и, . В противном случае случайные величины зависимы. Для независимых случайных величин совместное распределение строится по известным распределениям величин и:
.
Пусть заданы две конечные случайные величины:
,
Их суммой называется случайная величина , значениями которой являются всевозможные суммы с совместными вероятностями .
Произведением этих случайных величин называется случайная величина , значениями которой являются всевозможные произведенияс теми же вероятностями.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание
Математическим ожиданием конечной случайной величины
называется число
.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой:
.
2. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения, то .
3. Константу можно выносить за знак математического ожидания:
4. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
.
5. Для любой случайной величины справедливо равенство
.
Операция вычитания математического ожидания из случайной величины называется центрированием.
6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: