1. Биномиальное распределение

,где .

2. Распределение Гаусса.

Г

Графики нормального распределения при различных значениях

рис.1

оворят, что случайная величина , распределена по нормальному закону (имеет нормальное распределение) с параметрами и , если она имеет плотность распределения

Свойства нормального распределения:

• график симметричен относительно прямой ;

• функция достигает максимума в точке ;

• график приближается к нулю при возрастании :

.

Нормальное распределение обозначают . Нормальное распределение с параметрами , называется стандартным нормальным распределением и задается плотностью

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины обозначается через (рис. 1):

Пусть . Тогда квантиль случайной величины связана с квантилью стандартного нормального распределения следующим соотношением:

.

15. Законы больших чисел.

    1. Закон больших чисел Бернулли

Теорема. Пусть ‑ число успехов в п испытаниях Бернулли, p - вероятность успеха в единичном испытании. Тогда относительная частота успеха сходится по вероятности к вероятности р. Другими словами, для любого выполняется предельное соотношение

2. Центральная предельная теорема

Пусть случайные величины независимы, одинаково распределены с математическим ожиданием и конечной дисперсией . Тогда справедливо предельное соотношение

.

Статистика

16. Генеральная совокупность и выборка

• •Генеральной совокупностью называется вся совокупность исследуемых объектов

• •Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов

• •Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности

Способы формирования выборочной совокупности

• •Повторный – после измерений объект возвращают в генеральную совокупность

• •Бесповторный – после измерений объект в генеральную совокупность не возвращается

Выборка должна быть репрезентативной - представительной. Для этого объекты из генеральной совокупности должны отбираться случайно.

• •Простой случайный отбор – объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности

• •Типический отбор - объекты отбирают не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической части»

• •Механический отбор – генеральную совокупность делят механически на несколько групп и из каждой группы отбирают один объект

• •Серийный отбор – объекты из генеральной совокупности отбирают не по одному, а сериями, которые подвергают сплошному обследованию.

На практике, как правило, используется смешанная схема.

1. Характеристики выборки.

Упорядоченная выборка называетсявариационным рядом выборки. Разность между максимальным и минимальным элементом выборки называетсяразмахом выборки.

Пусть выборка содержит k различных чисел , причем , встречается раз (i = 1,2, ...,k). Число называется частотой элемента выборки ,. .

Совокупность пар (, ) называется статистическим рядом выборки.

Сумму называют накопленной частотой, а - накопленной относительной частотой значения .

Каждой выборке можно поставить в соответствие конечную случайную величину, принимающую эти значения с равными вероятностями 1/n:

Это распределение называется выборочным, или эмпирическим, распределением.