- •Федеральное агентство по образованию
- •Случайное событие
- •Алгебра событий.
- •Элементы комбинаторики
- •Формула полной вероятности.
- •Формула для апостериорной вероятности (формула Байеса)
- •Локальная теорема Лапласа
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины.
- •Совместное распределение случайных величин.
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Коэффициент корреляции
- •Функция распределения, ее свойства.
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Гаусса.
- •Законы больших чисел.
- •Характеристики выборки.
- •Выборочное среднее, выборочная дисперсия.
- •Гистограмма и полигон
- •Оценка характеристик выборки.
- •Точечные оценки
- •Доверительный интервал. Общее понятие.
- •Доверительный интервал математического ожидания. Случай 1.
- •Распределение
- •Доверительный интервал для дисперсии
- •Распределение Стьюдента.
- •Доверительный интервал математического ожидания. Случай 2.
- •Понятие о теории проверки статистических гипотез.
- •Ошибки при проверке гипотез
- •Проверка гипотезы о функции распределения.
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •Литература
Доверительный интервал. Общее понятие.
Пусть задано число , (уровень значимости, на практике обычно берут, или ). Пусть по выборке удалось построить интервал
удовлетворяющий равенству
.
Случайный интервал накрывает истинное значение параметра с заданной, достаточно большой вероятностью. Найденный интервал не зависит от значения параметра . Тогда интервал называют доверительным интервалом для параметра с доверительной вероятностью .
Доверительный интервал математического ожидания. Случай 1.
Дисперсия известна. Тогда, если всераспределены по нормальному закону, то выборочное среднее тоже имеет нормальное распределение и
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
,
где - квантиль стандартного нормального распределения,,- уровень значимости.
Распределение
(Читается «ХИ-квадрат»)
П
Рис.
2.
.
Говорят, что сумма квадратов этих случайных величин распределена по закону с k степенями свободы. Эту случайную величину обозначают :
Запись также означает, что случайная величина распределена по закону с k степенями свободы. Графики плотности распределения при различных k изображены на рисунке.
Случайная величина имеет нулевую плотность распределения при .
При большом числе степеней свободы k распределение близко к нормальному.
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону k степенями свободы, равно k:
Доверительный интервал для дисперсии
Теорема. Случайная величина распределена по закону с n-1 степенью свободы
Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону и - выборочная дисперсия, то доверительный интервал для дисперсии имеет вид
Распределение Стьюдента.
Пусть случайная величина распределена по стандартному нормальному закону: . Разделим на корень из (то есть из случайной величины, распределенной по закону с k степенями свободы, деленной на k). Полученная случайная величина имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы. Данная случайная величина и соответствующий закон распределения обозначаются через :
Рис.
3
Графики плотности распределения Стьюдента при различном числе степеней свободы приведены на рис. 3. Пунктиром выделено нормальное распределение.
Некоторые свойства распределения Стьюдента.
Распределение Стьюдента симметрично, причем Mt(k) = 0.
При больших k распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N(0,1).
Доверительный интервал математического ожидания. Случай 2.
Если дисперсия нормальной генеральной совокупности неизвестна, то доверительный интервал для математического ожиданияm имеет вид
где - квантиль распределения Стьюдента.
Понятие о теории проверки статистических гипотез.
Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обычно обозначается. Наряду с рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу , то есть ту гипотезу, которая будет принята в случае, если нулевая гипотеза отвергается. Пусть, к примеру, рассматривается гипотеза о значении параметра т нормальной совокупности: : . Для этой гипотезы можно выдвинуть различные альтернативы:
Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.
Говорят, что такой подход к проверке статистических гипотез основан на статистическом критерии, или критерии значимости. Построение решающего правила на основе критерия значимости можно разбить на следующие основные шаги.
1. Сформировать нулевую () и альтернативную () гипотезы.
2. Назначить уровень значимости . В качестве уровня значимости обычно выбирается вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Поэтому - малое положительное число.
3. Выбрать статистику критерия для проверки гипотезы .
4. Найти плотность распределения статистики критерия в предположении, что гипотеза верна.
5. Определить на числовой оси критическую область из условия (условная вероятность того, что Z попадает в область , при условии, что гипотеза верна). Область в этом том случае называется областью принятия решения. Условия, задающие критическую область, называются просто критерием.
6. По выборке вычислить выборочное значение статистки критерия.
7. Принять решение:
если, гипотеза отклоняется (то есть принимается гипотеза ):
если , гипотеза не отклоняется.
Принятое решение носит вероятностный, случайный характер. Поэтому обычно применяют более осторожные формулировки. Вместо того чтобы сказать "гипотеза отклоняется, говорят: “данные эксперимента не подтверждают гипотезу ”, “гипотеза не согласуется с экспериментом”.
По поводу предложенной схемы можно заметить следующее.
Значение уровня значимости не определяет критическую область однозначно.
Зная плотность распределения статистики , можно выделить сколько угодно областей на числовой оси, вероятность попадания в которые равна . В частности, этому условию удовлетворяют области , или , где через обозначены квантили распределения статистики .
Именно эти критические области обычно и применяются. Критерий в этих случаях называют соответственно правосторонним, левосторонним или двухсторонним. На практике выбор критической области обычно определяется видом альтернативной гипотезы.