Индивидуальные задания

Решите систему линейных уравнений:

а) методом Крамера;

b) с помощью обратной матрицы.

Сделайте проверку.

1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8		16
17		19
18		20

Лабораторная работа № 8 Решение задач оптимизации

Задачи оптимизации занимают очень важное место в бизнесе, производстве, прогнозировании. Условно эти задачи можно разделить на следующие категории:

• транспортная задача – минимизация расходов на транспортировку товаров;

• задача о назначениях – составление штатного расписания с минимизацией денежных затрат на заработную плату или времени выполнения работ;

• задачи оптимизации производства – максимизация выпуска товаров при ограничениях на сырье для производства этих товаров.

Прежде, чем искать оптимальное решение задачи необходимо построить ее математическую модель, т.е. осуществить перевод условия и решения на четкий язык математических отношений.

Задача оптимизации в общем виде формулируется следующим образом.

Найти значения переменных x₁, x₂, … , x_n, такие, что целевая функция f(x₁, x₂, … , x_n) примет максимальное, минимальное или заданное значения при ограничениях вида g(x₁, x₂, … , x_n).

Таким образом, задача оптимизации содержит три основных компонента:

• переменныеx₁, x₂, … , x_n– определяемые величины;

• целевая функция– это цель, записанная математически в виде функции от переменных, принимающая максимальное, минимальное или заданное значения;

• ограничения– условия или соотношения, которым должны удовлетворять переменные.

MSExcelпредоставляет возможность решения оптимизационных задач с помощью надстройкиПоиск решения. При этом после создания математической модели на рабочем листеExcelсоздается табличная модель, где в отдельных ячейках содержаться переменные решения, в отдельные ячейки записаны формулы, по которым будут вычисляться целевая функция и функции ограничений.

Продемонстрируем эту возможность на примере решения следующих задач:

Пример 1.Цех выпускает детали А и В. На производство детали А рабочий тратит 3 часа, на производство детали В - 2 часа. От реализации детали А предприятие получает прибыль 80 ден. ед., В - 60 ден. ед. Цех должен выпустить не менее 100 штук деталей А и не менее 200 штук деталей В. Сколько деталей каждого вида надо выпустить для получения наибольшей прибыли, если фонд рабочего времени составляет 900 человеко-часов.

Математическая модель задачи

Обозначим за x1 и x2 количество изделий А и В в оптимальном плане производства.

Решение задачи в ms Excel

Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов:

1. Переменные - неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи.

2. Целевая функция - величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности модели.

3. Ограничения - условия, которым должны удовлетворять переменные.

В качестве переменных х1 и х2 будем использовать ячейки E2 и E3 соответственно. Для значения целевой функции будем использовать ячейку E9:

Далее выбираем пункт меню Данные/Поиск решения:

Перед нами открывается диалоговое окно Поиск решения. В нём указываем, что нам необходимо установить ячейку $E$9 максимальному значению, изменяя ячейки $E$2:$E$3. Далее нажимаем кнопку Добавить для добавления ограничений. И добавляем следующие ограничения:

ограничения по фонду рабочего времени

ограничения по минимальному плану производства

количество изделий должно быть целым числом

После ввода каждого ограничения нажимаем кнопку Добавить. После ввода последнего ограничения нажимаем кнопку OK. И диалоговое окно Поиск решения принимает следующий вид:

Нажимаем кнопку Выполнить. И перед нами открывается диалоговое окно Результаты поиска решения:

Выбираем создание отчёта по результатам. Отчеты по устойчивости и пределам не создаются при использовании целочисленных ограничений на переменные. После нажатия кнопки OK в рабочей книге появляется новый лист с названием Отчет по результатам 1 содержащий отчёт по результатам, и получаем следующие результаты:

Деталь	Затраты времени на производсво одной детали, ч.	Прибыль от реализации одной детали, ден. ед.		Минимальный план выпуска, штук		Оптимальный план производства, штук
А	3	80		100		100
В	2	60		200		300
Фонд рабочего времени, человеко-часов
составляет			900
задействовано			900
Максимальная прибыль от реализации, ден. ед.							26000