electrodynamics

§2.Потенциал электрического поля

31

Пример 2.7. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ . Определите потенциал в произвольной точке вне и

внутри шара.

Решение. Для определения потенциала воспользуемся соотношением (2.3),

в котором потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю.

Напряженность поля определяется соотношениями (1.12) и (1.13),

полученными в примере 6 первого параграфа:

	∞	ρR 3	∞	dr		ρR 3		Q
	ϕ (r ) = ∫Ed r =		∫		=		=		при r > R ,
		3ε 0		2		3ε 0 r		4πε 0 r
	r		r	r

ϕ (r ) =

ρR

2

ρ

R

ρR

2

ρr

2

Q

+

∫rdr =

−

=

+

1

3ε 0

3ε 0

r

2ε 0

6ε

0

4πε 0 R

Здесь r - расстояние от рассматриваемой точки пространства до центра шара, а

Q − заряд, заключенный в шаре.

Пример 2.8. На рис.2.3 приведена картина силовых линий некоторого поля.

Нарисуйте несколько эквипотенциальных поверхностей и укажите, в каком направлении потенциал возрастает.

1			r	2
	1	−					при r ≤ R .
2			R	2

Рис.2.3

Решение. Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотен-

циальным поверхностям. Две из них показаны на рис.2.4.

Определим, какой из потенциалов

ϕ1 или ϕ2 больше. Согласно

Рис.2.4

Рис.2.5а

32		§2.Потенциал электрического поля
(2.3) ϕ1 − ϕ 2	= ∫E dr , где траекторию L выберем совпадающей с одной из
	L
силовых линий. Если		ϕ1 и ϕ2 мало отличаются, то расстояние между
эквипотенциальными		поверхностями мало	и кривую L с хорошей
точностью	можно заменить прямой, а		поле однородным, получим
ϕ1 − ϕ 2 = El > 0 .

Пример 2.9. Два разноименных точечных заряда, величины которых равны q1 и −q2 , расположены на расстоянии d друг от друга. Докажите, что поверхность нулевого потенциала есть сфера. Определите радиус R этой сферы и расстояние b от ее центра до меньшего по абсолютной величине заряда.

Решение. Пусть для определенности q2 < q1 .

Согласно условию задачи направление вдоль прямой, соединяющей заряды, является выделенным. Направим ось 0x вдоль нее. В

силу симметрии оси 0 y и 0z равноправны:

любая эквипотенциальная поверхность есть поверхность вращения вокруг оси 0x ,

поэтому достаточно найти линию пересечения эквипотенциальной поверхности с плоскостью x0 y (см. рис.2.5а). Выберем произвольную точку M (x, y) на

этой плоскости. Потенциал в этой точке согласно принципу суперпозиции равен

	ϕ =		q1		−		q2		.
		4πε 0	(x − b − d )2 + y 2			4πε 0	(x − b)2 + y 2

Поверхность нулевого потенциала ϕ = 0 удовлетворяет уравнению

	(x − b − d )2 + y 2	=	q1		(x − b)2 + y 2	.
			q2

§2.Потенциал электрического поля

33

Возведя это равенство в квадрат, получим

q1

2

2

2

2

y

q1

(

x − b

)2

+ 2d

(

x − b

)

= d

.

− 1

+

− 1

q2

q2

q1

2

Поделив это уравнение слева и справа на

и введя обозначения

− 1

q2

f

=

d 2

,

c =

d

,

2

2

q1

q1

− 1

− 1

q2

q2

получим

y 2 + (x − b)2 + 2c(x − b) = f .

Прибавив

справа и

слева c 2 ,

окончательно

найдем

искомое уравнение

окружности

y 2 + (x − b + c)2 = R 2 .

Здесь радиус окружности

R =

dq2 q2

.

(2.17)

q 2

− q 2

1

2

А так как центр окружности совпадает с точкой О, то

b = c =

d

.

(2.18)

2

q1

− 1

q2

34	§2.Потенциал электрического поля

На рис.2.5б показана картина силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для двух не равных по модулю разноименных зарядов.

Таким образом,

поверхность нулевого потенциала является сферой,

охватывающей меньший по

Рис.2.5б

величине заряд. Центр сферы лежит вне отрезка,

соединяющего заряды.

Пример 2.10. На сфере радиусом R распределен заряд с поверхностной

плотностью σ = σ 0 cosθ , где θ	- угол, составляемый радиусом-вектором,
проведенным в произвольную	точку сферы с осью 0z . Найдите

напряженность в произвольной точке вне и внутри сферы.

Решение. Распределение заряда по поверхности сферы с заданной в условии задачи поверхностной плотностью можно получить, заменив сферу двумя

а

б

Рис.2.6

§2.Потенциал электрического поля					35
шарами радиусом		R , заряженными с однородной объемной плотностью
+ρ и − ρ	и сдвинутыми относительно заданной сферы вдоль оси 0z				на
очень малое расстояние a ( a << R ) вверх и				вниз соответственно,	как
показано	на рис.2.6. Действительно,		в объеме, задаваемом углами
θ θ + dθ ,	между	этими шарами	находится заряд (см. рис.2.6а)
dq = ρ 2πR sin θ Rdθ 2a cosθ . Этот			заряд	будет распределен	по

поверхности площади dS = 2πR sin θ Rdθ , откуда σ = 2aρ cosθ = σ 0 cosθ .

Здесь обозначено σ 0 = 2aρ .

Поле вне сферы, создаваемое двумя	шарами, будет совпадать с
полем диполя, имеющего дипольный момент	pe	= 2aρ	4	πR 3	=	4	πR 3σ 0 и
		3			3

помещенного в центр сферы, как показано на рис.2.6б. Поле диполя подробно рассмотрено в примере 2 настоящего параграфа.

	На			рис.2.7				показана
произвольная точка М внутри сферы,
описываемая координатами r и ψ .
Поле	E+ ,	создаваемое положительными
зарядами шара с центром в точке А,
будет направлено по радиусу этого шара
и определяться только зарядами внутри
сферы	радиусом				r+ .		Соответственно
поле E− ,		создаваемое отрицательными
зарядами шара с центром в точке В,
будет направлено по радиусу этого шара
и определяться только зарядами внутри									Рис.2.7
сферы радиусом r−					(см.(1.13)):
	E + =		q+			=	ρ r +	,
			4πε	r	2		3ε 0
				0 +

36						§2.Потенциал электрического поля
E − =	q−			=	ρ r −
						.
	4πε	r 2			3ε 0
		0	−

Найдем векторную сумму этих полей, для чего просуммируем их проекции:

E x	= E+ x	+ E− x	=	ρ	r cosψ −	ρ		r cosψ = 0 ,
				3ε 0		3ε 0
E z	= E+ z	+ E− z	=	ρ	(r sinψ − a)−			ρ	(r sinψ + a) = −	ρ	2a .
				3ε 0
								3ε 0		3ε 0
Учитывая,	что σ 0 = 2ρa ,			окончательно получим, что поле внутри сферы

однородно, направлено противоположно оси 0z , а его напряженность равна по абсолютной величине

E =	σ 0	.	(2.19)
	3ε 0

Задание для самостоятельной работы

2.1. Определите работу силы электрического поля, создаваемого зарядом q ,

над зарядом q' при перемещении заряда q' из точки 1 с радиус-вектором r1

в точку 2 с радиус-вектором r2 по траекториям, изображенным на рис.2.8 а - 2.8в.

§2.Потенциал электрического поля

37

а	б	в
	Рис.2.8

2.2. Одномерная модель ионного кристалла представляет собой бесконечную линейную цепочку чередующихся по знаку и одинаковых по модулю зарядов (ионов). Расстояние между соседними зарядами одинаково

вдоль всей цепочки и равно a , модуль заряда равен q . Найдите потенциал

ϕ , создаваемый всеми остальными зарядами в точке, где находится положительный заряд.

2.3.	Два	точечных заряда +q		и	−q расположены	в	точках
N (a / 2,0,0),		M (− a / 2,0,0)	соответственно.		Какую работу совершат силы
поля,	создаваемого этими		зарядами,	при	удалении заряда q'	из	начала

координат на бесконечность? Как изменится ответ, если оба заряда одинаковы и равны +q ?

2.4. Диполь с диполь-

ным моментом p e

помещен в однородное электрическое поле

напряженности E .

Найдите потенциальную

Рис.2.9

38	§2.Потенциал электрического поля
энергию диполя W , момент сил	M и силу F , действующие на диполь в

случае его ориентации, показанной на рис.2.9.

2.5. Найдите энергию W взаимодействия двух диполей с дипольными моментами p1 и p2 при их взаимном расположении, показанном на рис.2.10.

Рис.2.10

2.6. Диполь с дипольным моментом pe находится в однородном электрическом поле с напряженностью E. Диполь отпускают без начальной

скорости из положения, показанного на рис.2.9а. Найдите угловую скорость диполя ω при прохождении им положения, показанного на рис.2.9б, и его

угловое ускорение β в начальный момент времени. Масса каждого заряда m , расстояние между зарядами l .

2.7. Точечный положительный заряд q находится в начале координат.

Диполь с моментом p e находится в точке с радиус-вектором r . При какой ориентации диполя энергия его взаимодействия с зарядом: а) максимальна,

б) минимальна, в) равна нулю.

2.8. Найдите распределение модуля напряженности электрического поля точечного диполя на сфере радиусом R с центром в точке, где находится диполь. Дипольный момент диполя равен pe.

§2.Потенциал электрического поля

39

2.9. Найдите потенциал и напряженность поля в центре полусферы радиуса

R , заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ . Указание: для расчета напряженности воспользоваться формулой (2.7).

2.10. Шарик радиусом r = 1см заряжен до потенциала ϕ = 3000В . Сколько электронов n нужно отнять от шарика для такой электризации? На сколько при этом уменьшится масса шарика?

Масса электрона m = 9,1 10 −31 кг , заряд электрона e = 1,6 10 −19 Кл .

		2.11. Даны потенциалы ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3					и ϕ 4 в
		четырех смежных вершинах малого кубика
		с	ребром a	(рис 2.11).		Как	можно
		приближенно		определить	напряженность
		поля в точке 4?
	рис.2.11	2.12. Найдите силу			взаимодействия
		F между точечным зарядом q и точечным
диполем, если расстояние между зарядом и диполем равно d ,						а дипольный
момент p e	направлен вдоль соединяющей их прямой.
2.13. Два	тонких бесконечно		длинных	проводника,		разноименно

заряженных с одинаковой линейной плотностью заряда, расположены параллельно на некотором расстоянии друг от друга. Докажите, что эквипотенциальные поверхности такой системы проводников суть круговые цилиндры и определите расстояние l между проводниками, если расстояние между осями двух таких цилиндров равно 2a , а их радиусы одинаковы и равны R .

40	§2.Потенциал электрического поля
	2.14. Может ли существовать в вакууме
	электростатическое	поле,	вектор
	напряженности которого	E во	всем объеме

поля одинаково направлен, но по величине изменяется, например, по линейному закону,

если переходить от точки к точке по нормальному к полю направлению (рис.2.12).

Рис.2.12

2.15. Диэлектрический диск радиусом R заряжен равномерно с поверхностной плотностью заряда σ. Найдите потенциал на краю диска.