electrodynamics

Приложение

321

Сферическая система координат (r,ϑ,ϕ )

r

r

r

r

a = ar er

+ aϕ eϕ

+ aϑ eϑ

;

x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cosϑ

Элемент дуги (dl )2 = (dr)2 + r 2

(dϑ )2 + r 2 sin 2 ϑ (dϕ )2

Элемент объема dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ

Единичные векторы вдоль координатных линий

r

r

r

r

er

= cosϕ sin ϑ i + sin ϕ sin ϑ j + cosϑ k ,

r

r

r

r

r

r

r

eϑ

= cos ϕ cosϑ i + sin ϕ cosϑ j − sin ϑ k ,

eϕ = − sin ϕ i + cosϕ j

grad f =

∂f

r

+

1 ∂f r

+

1 ∂f r

Градиент скалярного поля

er

eϑ

eϕ

∂r

r

∂ϑ

r sin ϑ

∂ϕ

Дивергенция векторного поля

r

1

∂

2

1

∂

1

∂aϕ

div a

=

(r

ar ) +

(aϑ sin ϑ ) +

r 2

∂r

r sin ϑ

∂ϑ

r sin ϑ

∂ϕ

Оператор Лапласа

f

=

1

∂

(r 2

∂f

) +

1

∂

(sin ϑ

∂f

) +

1

∂2 f

r 2

2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2

∂r

∂r

r 2 sin ϑ ∂ϑ

∂ϑ

r

Некоторые частные решения уравнения Лапласа

f

= 0 :

r

r

p cosϑ

f

1

(поле точечного заряда);

f

( p; r )

=

(поле диполя);

r

r 2

r 3

f

pr cosϑ = pz

(однородное поле)

1

r

1

r

1 r

er

eϑ

eϕ

r 2 sin ϑ

r sinϑ

r

r

∂

∂

∂

rot a =

∂r

∂ϑ

∂ϕ

ar

r aϑ

r sin ϑ aϕ

v

v

Элементарная работа векторного поля

A = (adl )

A = ar dr + aϕ r sin ϑ dϕ + raϑ dϑ

Поток векторного поля Φ = ∫∫ad S = ∫∫(a, n)dS =

S

S

= ∫∫r 2 ar

sin ϑdϕ dϑ + raϕ drdϑ + r sin ϑ aϑ drdϕ

S

Литература

322

Литература

1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1985.

2.А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа", 1986.

3.И. В. Савельев. Курс общей физики. Том II. Электричество. М.: Наука, 1964.

4.З. Парселл. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1971.

5.И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.

6.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973.

7.Л.И. Антонов, Л.Г. Деденко, А.Н. Матвеев. Методика решения задач по электричеству. М.: Изд-во МГУ, 1982.

8.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. М:

НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.

9. С.М. Козел, В.Г. Лейман, Г.Р. Локшин, В.А. Овчинкин, Э.В. Прут.

Сборник задач по общему курсу физики. Ч.2. Электричество и магнетизм.

Оптика. М: Изд-во МФТИ, 2000.

10. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм.

под ред. И.А. Яковлева. М: Наука, 1977.

11.Е.И. Бабаджан, В.И. Гервидс, В.М. Дубовик, Э.А. Нерсесов. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике. М: Наука, 1990.

12.Н.Н. Взоров, О.И. Замша, И.Е. Иродов, И.В. Савельев. Сборник задач по общей физике. М: Наука, 1968.

13.Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и

решениями. М: Мир, 1978.