elemen_teorija

А.Г. ЧЕНЦОВ

ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ МЕРЫ, I

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Радиотехнический институт - РТФ

Кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики

Серия «Современная математика в инженерном образовании»

А.Г. ЧЕНЦОВ

ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ МЕРЫ, I

Екатеринбург

2008

УДК 517.972.8

Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Научное издание. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 388 с.

Монография посвящена вопросам интегрирования ограниченных функций по конечно-аддитивным мерам ограниченной вариации и сравнению упомянутых конструкций интегрирования с аналогичными конструкциями, связанными с применением счетноаддитивных мер, что соответствует классической лебеговской теории меры. Монография представляет первую часть исследования, включает сравнительно простые конструкции и примеры; она является подготовительной и может быть рекомендована широкому кругу читателей.По характеру изложения книга ориентирована в большей степени на сотрудников, преподавателей, аспирантов технических университетов, но будет полезной и для математиков, преподавателей и студентов классических университетов.

В основе излагаемого подхода находится идея «универсального» интегрирования, в рамках которого подинтегральная функция и мера рассматриваются в качестве равноправных объектов, а реализуемые при этом интегралы являются билинейными формами. Широко используется естественная двойственность пространства, сопряженного к банахову пространству ярусных функций, и пространства конечно-аддитивных мер ограниченной вариации, на основе которой получает, в частности, свое описание операция предельного перехода и схема построения неопределенного интеграла.

Рецензенты:

академик РАН А.В. Кряжимский, доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Сесекин

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Г л а в а 1. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 1.1. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

§ 1.2. Образы и прообразы множеств; обобщенные декартовы произведения . . . 26

§ 1.3. Вещественные числа (краткие сведения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

§ 1.4. Конечные и счетные множества, разбиения, двойные суммы . . . . . . . . . . . . . 45

§ 1.5. Вещественнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1.6. Линейные пространства вещественнозначных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

§ 1.7. Семейства подмножеств заданного множества со специальными свойствами; метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Г л а в а 2. КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫЕ МЕРЫ, СТУПЕНЧАТЫЕ И ЯРУСНЫЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 2.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§ 2.2. Конечно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

§ 2.3. Счетно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 2.4. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

§ 2.5. Линейные пространства вещественнозначных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

§ 2.6. Ограниченные вещественнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

§ 2.7. Ступенчатые и ярусные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§ 2.8. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Г л а в а 3. ИНТЕГРАЛ ЯРУСНОЙ ФУНКЦИИ ПО КОНЕЧНО-АДДИТИВНОЙ МЕРЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 3.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 3.2. Элементарный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§ 3.3. Интеграл ярусной функции по конечно-аддитивной мере ограниченной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

§ 3.4. Основные свойства ярусного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

§ 3.5. Конечно-аддитивные меры и линейные непрерывные функционалы на пространстве ярусных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

§ 3.6. Случай измеримого пространства с полуалгеброй множеств . . . . . . . . . . . . 152

§ 3.7. Неопределенный интеграл ярусной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3

§ 3.8. Интегральное представление операции предельного перехода (пример) . 163

§ 3.9. Пространство-стрелка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Г л а в а 4. СЧЕТНАЯ АДДИТИВНОСТЬ И ЕЕ ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ; ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

§ 4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

§ 4.2. Конечная и счетная аддитивность функций множества . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

§ 4.3. Продолжение конечно-аддитивной меры с полуалгебры множеств на алгебру, порожденную данной полуалгеброй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

§ 4.4. Некоторые свойства интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

§ 4.5. Простейший вариант теоремы о мажорированной сходимости (роль свойства счетной аддитивности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

§ 4.6. Линейные комбинации мер Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

§ 4.7. Некоторые конструкции продолжения конечно-аддитивной меры . . . . . . . 239

§ 4.8. Сравнение конструкций продолжения конечно-аддитивной меры . . . . . . . 256

§ 4.9. Продолжение по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

§ 4.10. Пример, связанный с продолжением меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

§ 4.11. Некоторые замечания относительно проблемы продолжения счетно-аддитивной меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

§ 4.12. Добавление: пополнение стандартного пространства с мерой . . . . . . . . . . 306

Г л а в а 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ . . 316

§ 5.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

§ 5.2. Произведение двух измеримых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

§ 5.3. Конечно-аддитивные переходные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

§ 5.4. Переходная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

§ 5.5. Интегрирование переходной вероятности и представление математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

§ 5.6. Измеримые отображения и вырожденные переходные вероятности . . . . . 361

§ 5.7. Конечно-распределенные переходные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Список основных сокращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

4

Введение

Настоящая книга посвящена изложению некоторых разделов теории меры

вдостаточно элементарной форме; хочется надеяться, что после прочтения этой книги у читателя будет сформирован взгляд на проблемы, которые, с одной стороны, можно отнести к категории начальных (и не слишком сложных), а с другой — такие, которые могут уже весьма эффективно использоваться в приложениях и являются, стало быть, полезными с практической точки зрения, если, конечно, иметь в виду практику исследований

вприкладной математике. Последнее можно, однако, считать и некоторым ориентиром для инженерных приложений, использующих конструкции теории вероятностей, теории управления, теории игр и некоторых других разделов прикладной математики. Так или иначе, при теоретических построениях, призванных обосновать методы, используемые в инженерных задачах, приходится в ряде случаев использовать интегралы и (иногда в замаскированном виде) меры. В качестве конкретного примера таких построений можно отметить статистическую радиотехнику, статистическую радиолокацию, статистическую теорию связи. Вероятно, здесь можно было бы говорить на самом деле о специализированных разделах математической теории статистических решений, которые развивались, однако, специалистами в области технических наук в соответствии с представлениями, типичными для соответствующих прикладных задач. Строгие построения с использованием современных математических методов требуют, в частности, применения здесь аппарата аксиоматической теории вероятностей, которая, как известно, является частью теории меры. Это касается, в частности, таких важных для инженерных приложений понятий, как средний риск, условный риск, рандомизированная стратегия и т. п.

Вдругой конкретной области, связанной с построением систем управления, иногда оказываются полезными скользящие режимы, которые можно представлять как результат действия некоторых обобщенных управлений, формализуемых, в частности, посредством мер либо мерозначных функций. Можно указать и другие задачи прикладного характера, для которых

5

элементы теории меры оказываются полезными на этапе формализации и построения качественных методов.

Обращаясь к математической стороне дела, следует отметить, что современное состояние классической теории меры во многом определено замечательными работами А. Лебега, относящимися к началу ХХ века. В этих работах был предложен принципиально новый подход к проблеме интегрирования, который получил признание многих выдающихся математиков. Исследования Лебега получили мощное развитие в последующих многочисленных работах, включая монографии. Среди многих замечательных математиков, активно участвующих в создании и последующем развитии теории меры, отметим сейчас особо Фреше, Лузина и Колмогорова. С классической лебеговской теорией меры связано становление и развитие современной теории вероятностей, которая, как аксиоматическая система, была введена в работах А. Н. Колмогорова. В построениях, упомянутых выше, важную роль играет свойство счетной аддитивности меры (в ее классическом понимании), на которое обратил внимание Лебег. Оно, кстати, сообщает интегралу целый ряд важных для практических приложений свойств. В результате реализуется стройная теория, на основе которой было получено большое число тонких результатов; в частности, это можно сказать о современной теории случайных процессов.

Следует отметить, однако, что вышеупомянутая классическая теория меры и интеграл Лебега практически не используются в инженерных приложениях, включая упомянутые ранее дисциплины, связанные с применением теории статистических решений к задачам радиотехники. В то же время построение качественных методов решения этих задач едва ли возможно без применения аппарата современной теории меры и интеграла. По-видимому, систематическое изучение основных положений теории меры связано с серьезными затруднениями для специалистов в области упомянутых приложений. В частности, как представляется, эти затруднения могут быть связаны с потребностью в «хороших» оценках близости значений интегралов и интегральных сумм, доступных эффективному вычислению. Возможен, однако, несколько иной, в сравнении с построениями классической теории меры, путь, на котором, при некоторых «приемлемых» жертвах в смысле общности конструкций, удается реализовать подходящие оценки близости. Речь идет о применении некоторых конструкций, обычно используемых в т. н. конечно-аддитивной (к.-а.) теории меры. Свойство конечной аддитивности функции множества (ФМ) является требованием более слабым в сравнении со счетной аддитивностью. Все счетно-

6

аддитивные (с.-а.) меры являются к.-а.; имеются, однако, к.-а., но не с.-а., меры. Полезно иметь в виду то обстоятельство, что при построении интеграла на уровне определений можно допустить применение к.-а. мер (отметим, в частности, весьма общий подход [10, гл. III]); «пострадают» при этом лишь свойства получаемого интеграла. Это обстоятельство используется в дальнейшем: мы конструируем интеграл произвольной ограниченной функции на заданном измеримом пространстве (ИП), допускающей равномерное приближение ступенчатыми, по к.-а. мере ограниченной вариации. При этом само ИП понимается очень широко, что существенно в вопросах к.-а. интегрирования. Далее мы рассматриваем подробно основные свойства получаемого таким образом интеграла, акцентируя внимание на построение исчерпывающего представления пространства линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве, элементами которого являются ограниченные функции специального вида. Такие функции — равномерные пределы ступенчатых — условимся называть ярусными (см. [22]). В рассматриваемом случае «нестандартного» ИП множество ярусных функций может быть шире множества ограниченных измеримых функций, применяемых в теории Лебега. Кроме того, ярусные функции допускают естественную аппроксимативную реализацию, что может представлять интерес с точки зрения построения вычислительных методов. Поэтому построение конструкций интегрирования ярусных функций по к.-а. мере, с одной стороны, представляет наибольший интерес, а, с другой, — требует применения несколько иных методов в сравнении со случаем классического интегрирования по Лебегу. Эти методы последовательно излагаются сначала применительно к построению определенного интеграла, именуемого далее ярусным, а затем — к исследованию получающихся при этом интегральных функционалов на пространстве ярусных функций. В случае ИП с полуалгеброй множеств на этой основе устанавливается свойство отождествимости пространства к.-а. мер ограниченной вариации и пространства линейных непрерывных функционалов на пространстве ярусных функций. С учетом этого свойства вводится далее неопределенный интеграл ярусной функции по к.-а. мере ограниченной вариации, определяемый содержательно в терминах линейного непрерывного функционала на пространстве ярусных функций. В дальнейшем эта идеология распространяется на случай представления конкретных операций предельного перехода в терминах ярусного интегрирования.

Случай интегрирования по с.-а. мере (частный случай с точки зрения общей теории к.-а. интегрирования) сопровождается появлением целого ряда

7

«хороших» свойств у ярусных интегралов; эти свойства хорошо известны в классической теории меры. Здесь они рассматриваются в простейшем варианте, соответствующем случаю интегрирования ограниченных измеримых функций. По ходу изложения отмечаются некоторые положения, важные для теории вероятностей (свойства математического ожидания, неравенство Чебышева и др.). Здесь же в простейшем (но идейно достаточном) варианте приведена теорема Лебега о мажорированной сходимости; существенность применения с.-а. меры (при организации процесса интегрирования) для справедливости данной теоремы подтверждается примером.

Плодотворное использование предлагаемого подхода к проблеме интегрирования требует достаточно обширного ИП, на котором должна быть определена к.-а. мера, используемая в качестве инструмента интегрирования. В то же время естественные способы определения к.-а. мер касаются зачастую достаточно бедных множествами ИП. В этой связи возникает проблема продолжения меры (к.-а. в данном случае), заданной первоначально на примитивном ИП, до к.-а. меры, определенной на более обширном семействе измеримых множеств. В этой связи рассматриваем продолжение по Жордану, связываемое со схемой Каратеодори (точнее, с к.-а. версией этой схемы). Рассматривается и вопрос о продолжении с.-а. меры, заданной первоначально на алгебре множеств, на σ−алгебру, порожденную данной алгеброй. Имеются в виду элементы теории лебеговского продолжения меры. Последнее рассматривается не в полной общности, если иметь в виду вопрос об индивидуальном продолжении той или иной «первоначальной» меры. Основное внимание уделяется (в этой части) оператору продолжения ограниченных с.-а. мер на алгебре множеств. Такой подход соответствует идее рассмотрения конструкций, универсальных относительно исходной меры. Эта идея является центральной в данной монографии как в части интегрирования, так и в вопросах продолжения мер.

Далее рассматриваются конструкции, допускающие идейные аналогии с известной теоремой Фубини, но мотивированные задачами теории вероятностей. Речь идет о так называемых переходных вероятностях и их интегрировании; основные конструкции даны здесь для с.-а. случая, хотя приведены также некоторые построения, связанные с к.-а. переходными мерами. Во всех случаях речь идет о построении меры на декартовом произведении двух ИП. Излагаемая конструкция может быть применена в задачах теории статистических решений. В частности, переходные вероятности используются для формализации рандомизированных решающих правил статистика, т. е. для формализации [23, c. 115] случайных стра-

8

тегий статистика. Данная конкретизация может быть, в частности, весьма полезной в задачах, рассматриваемых в статистической радиотехнике, где вопросам математической строгости не всегда уделяется должное внимание. Приводимые в настоящей книге (глава 5) построения базируются на достаточно простых определениях, восходящих к ярусному интегралу, и могут по этой причине использоваться для целей, связанных с математическими постановками упомянутых прикладных (по своей природе) задач.

Автор благодарен жене, Наталье Леонидовне Ченцовой, за понимание, поддержку и неоценимую помощь во всех делах.

Излагаемые в монографии конструкции связаны с работами, проводимыми в Институте математики и механики УрО РАН в области теории управления и дифференциальных игр.

Автор выражает глубокую благодарность учителю — Николаю Николаевичу Красовскому; его поддержка и ценные советы неизменно помогали преодолевать трудности, находить новые интересные области исследования.

Подход, предлагаемый в книге, оформился в значительной степени в процессе преподавательской деятельности автора в Уральском государственном техническом университете (УПИ) и в Уральском государственном университете. В частности, очень помогла работа, выполняемая автором в секции «Современная математика в инженерном образовании» (Радиотехнический институт-РтФ УГТУ-УПИ).

Большую помощь в оформлении и подготовке монографии оказала Лия Трофимовна Буслаева. Автор выражает ей глубокую благодарность.

9