electrodynamics

§13. Электромагнитные волны

241

векторы E и H лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, и их колебания являются синфазными.

Поскольку и электрическое и магнитное поле обладают определенной энергией, электромагнитная волна переносит энергию в пространстве. Объемная плотность энергии, переносимой электромагнитной волной, равна

w = εε	0	E 2 .	(13.8)

Плотность потока энергии электромагнитной волны, т.е. энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, характеризуется вектором Пойнтинга:

Π = [E H] = wcn .

(13.9)

Как следует из (13.4), (13.8) и (13.9), значение вектора Пойнтинга осциллирует с частотой 2ω. Например, для электромагнитных волн видимого диапазона эта частота составляет порядка 1015 рад/c. Поэтому, часто бывает более уместно говорить о средней за период плотности потока энергии электромагнитной волны. Эта величина называется интенсивностью электромагнитной волны и определяется следующим образом:

			1	T
	I = Π T	≡		∫Πdt ,	(13.10)
			T
				0

где T = 2π ω – период волны.

В системе СИ интенсивность электромагнитной волны измеряется в

ваттах на квадратный метр (Вт/м2).

Пример 13.1. Источник излучает электромагнитную волну с частотой ω в направлении приемника, равномерно движущегося со скоростью v, много меньшей скорости света, вдоль прямой, соединяющей источник и приемник. Какова будет частота электромагнитной волны, регистрируемой приемником?

§13. Электромагнитные волны

Решение. Пусть источник излучает волну в направлении оси OZ (см. Рис.13.1). Тогда в системе координат, связанной с источником,

Рис.13.1 напряженность электрического поля этой волны описывается выражением (13.5):

E( z, t ) = E A cos(ωt − kz) ,

где t – время, E A – амплитудное значение напряженности, k = ω – волновое c

число, а c – скорость света в среде, где распространяется волна. Введем систему координат, связанную с приемником так, чтобы ее ось O′Z ′ была параллельна оси OZ. Тогда «штрихованные» и «нештрихованные» координаты связаны соотношением

z = z ′ − vt ,

(13.11)

где скорость v считается положительной, если приемник приближается к источнику и отрицательной – если удаляется. Для описания электрического поля волны в «штихованной» системе координат, связанной с приемником,

подставим (13.11) в (13.4):

E(z' , t ) = E A cos[ωt − k (z'−vt )]= E A cos[(ω + kv)t − kz'].

Вспоминая, что k = ω , окончательно получаем

c
		v
E(z' , t ) = E A cos 1	+		ωt − kz' .
		c

Как видно из (13.4), круговая частота волны есть множитель при времени в аргументе гармонической функции. В последнем выражении соответствующий множитель равен:

§13. Электромагнитные волны

243

		v
ω ′ = ω 1	+		.	(13.12)
		c

Это и есть частота волны в системе координат, связанной с приемником, то есть искомая регистрируемая частота.

Изменение регистрируемой приемником частоты волны при относительном движении приемника и источника волны называется эффектом Доплера. Он имеет место не только для электромагнитных волн, но вообще для волн любой природы, например – звуковых. Как видно из (13.12), регистрируемая частота больше частоты, с которой излучает источник, если приемник приближается к источнику и меньше – если удаляется. Это можно заметить, например, сравнивая шум приближающегося и удаляющегося поезда.

Пример 13.2. Оценить при какой интенсивности электромагнитной волны напряженность ее электрического поля становится сравнима с напряженностью внутриатомного поля.

Решение. Поскольку в условии речь идет об оценке и тип атома явно не указан, выберем самый простой – атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона. Согласно классической модели атома водорода, электрон вращается вокруг протона по круговой орбите радиусом a0=0,53 10-10 м,

который называют боровским радиусом. Следовательно, напряженность E i

электрического поля протона во всех точках электронной орбиты равна по модулю

	=	1		e
Ei					,
		4πε 0
				a02

где e – заряд протона, равный элементарному заряду.

Пусть на такой атом водорода падает плоская монохроматическая

электромагнитная волна. Напряженность E электрического поля этой волны, описываемая выражением (13.4) сравнивается с напряженностью

244										§13. Электромагнитные волны
внутриатомного		поля,				если ее амплитудное				значение E A сравнивается по
модулю с E i .		Для				того, чтобы определить – какова будет при этом
интенсивность волны I, воспользуемся формулами (13.9-13.10):
I = Π		= c0				w .
	r					r
Так как в нашем случае ε = 1 , то согласно (13.4)
I = ε 0 E 2					= ε 0 c0 E A2 cos 2 ω t		=	1	ε	0 c0 E A2 .
				r		r	2
Учитывая, что E A			= Ei , окончательно находим
I =	c0 e 2					,
	32π	2ε	0	a	4
					0

где Π и w – соответственно, плотность потока энергии и объемная плотность энергии волны, а угловыми скобками обозначено усреднение по времени на промежутке, равном периоду волны T. Подставляя в полученную формулу табличные константы, получим искомую оценку: I ≈ 1020 Вт/м2.

Пример 13.3. Плоская монохроматическая электромагнитная волна нормально падает из вакуума на плоскую поверхность проводника. Чему равно среднее (за период) давление этой волны на проводник, если интенсивность волны – I? Считать, что волна полностью поглощается.

Решение.

§13. Электромагнитные волны

245

Рассмотрим физически бесконечно малый объем проводника dV, расположенный на его поверхности. Пусть

вектора E и H падающей волны направлены как показано на Рис.13.2. Электрическое поле волны вызывает в

проводнике ток, плотность которого j

определяется законом Ома:

j = λ E ,

Рис.13.2

где λ – проводимость проводника. Так как

в электромагнитной волне векторы E и H всегда ортогональны, этот ток протекает в направлении, перпендикулярном напряженности магнитного поля падающей волны. Следовательно, это магнитное поле будет действовать на

проводник с током с силой Ампера (7.2). Посчитаем силу Ампера d F ,

действующую на объем проводника dV:

d F = gJ [d l, B]= µµ 0 dJ [d l, H ],

где B – индукция	магнитного поля волны, µ – магнитная проницаемость
проводника, d l –	высота объема dV	(см. рис.13.2), а dJ = j d S 1 –
элементарный ток,	протекающий через	верхнюю поверхность d S 1 этого

объема. С учетом введенных обозначений перепишем последнее выражение в следующем виде: d F = µµ 0 (j, d S 1 )[d l, H ]. Так как j параллельна d l , то

d F = µµ 0 (d l, d S 1 )[j, H ]= µµ 0 dV [j, H ].

dWДж

246										§13. Электромагнитные волны
Напомним, что вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен											E и
Π (13.9), поэтому выражение для силы можно переписать в виде
				dV [j[n, E ]]=						dV {n(j, E )− E (j, n)},
		εε 0
d F = µµ	0				εε	0	µµ	0
		µµ 0
где ε – диэлектрическая проницаемость среды, с – скорость света в ней, а											n –

единичный вектор, задающий направление распространения электромагнитной волны. Учитывая направление векторов E, j и n , получим

dF = 1 dV (j E). c

В силу закона Джоуля-Ленца (6.10), протекание по проводнику электрического тока вызывает выделение в нем тепла. При этом в теплоту превращается энергия падающей волны, совершающей работу по перемещению зарядов в проводнике. Далее будем для простоты считать, что вся энергия волны поглощается поверхностным слоем проводника. Тогда мы можем

приравнять	энергию	dWEM = wdV	(w – объемная плотность энергии),
приносимую	волной	внутрь элемента	объема dV за время dt, и энергию

= (j , E )dVdt , выделяющуюся в нем за это время в виде Джоулева тепла.

Следовательно, выражение для силы d F можно переписать в следующем виде:

	d F =	1 dW			Дж	n =	dWEM	n .
		c dt					cdt

Напомним, что cdt = dl и dWEM = wdV , откуда

d F = w dV n = wdS 2 n , dl

§13. Электромагнитные волны

247

где dS2 – площадь боковой поверхности элемента объема dV, ориентированной перпендикулярно направлению распространения волны.

Итак, мы нашли силу Ампера, действующую со стороны падающей электромагнитной волны на элемент объема dV проводника. По определению, давление есть отношение нормальной проекции силы, действующей на элемент поверхности тела, к площади этого элемента. Таким образом, давление p волны на проводник равно:

p = dFn , dS 2

или согласно (13.10)

p = Π , c

где Π – плотность потока энергии волны. Так как по условию требуется найти среднее давление, необходимо усреднить последнее равенство по периоду электромагнитной волны:

p =	Π T	=	I	.
T	c c

Пример 13.4. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется в вакууме. Длина волны – λ1=1 м. На ее пути находится антенна, состоящая из двух одинаковых заземленных проводящих стержней, ориентированных параллельно направлению колебаний вектора E волны и отстоящих друг от друга на расстояние d=50 см. Возникающая при этом максимальная разность потенциалов между незаземленными концами стержней составляет U1max = 20 мкВ. Чему будет равна эта разность потенциалов в случае падения на антенну плоской монохроматической электромагнитной волны с такой же интенсивностью и длиной λ2=3 м.

248	§13. Электромагнитные волны
Решение.		Поскольку		стержни
ориентированы параллельно направлению
колебаний	вектора		E электромагнитной
волны,		они	перпендикулярны
направлению		ее	распространения (см.
рис.13.3). Следовательно, в каждый
момент времени каждый из стержней
находится	в	однородном		электрическом
поле. Пусть каждый стержень имеет длину

Рис.13.3	l. Тогда потенциалы U1,2 верхних концов
	стержней связаны с напряженностями E1,2

электрического поля волны в соответствующих поперечных плоскостях следующими соотношениями:

U1,2 = −E1,2 l .	(13.13)
Здесь учтено, что вектора E 1,2	параллельны стержням, а нижние концы

стержней заземлены, т.е. имеют нулевой потенциал. Напряженность электрического поля плоской монохроматической электромагнитной волны описывается выражением (13.4):

E( z, t ) = E A cos(ωt − kz) ,

где z – продольная координата, t – время, E A – амплитудное значение

напряженности, а k = 2π – волновое число. Введем координатную ось OZ так,

λ

чтобы координата первого стержня была равна нулю. Тогда из (13.4) имеем:

E 1 = E A cos ωt ; E 2 = E A cos(ωt − kd ).

§13. Электромагнитные волны

249

Следовательно, разность потенциалов между незаземленными концами стержней с учетом (13.13) равна

	= l(E 2	− E1 ) = 2E A l sin	kd		kd
U = U 1 − U 2				sin ωt −		.
		2			2

Отсюда видно, что эта разность потенциалов осциллирует с частотой ω, а ее

максимальное значение U max			равно:
U max = 2EA l sin	kd	= 2EA l sin		πd	.
2				λ

Итак, искомая разность потенциалов действительно зависит от длины волны, а отношение разностей потенциалов U1max и U 2max ,

соответствующих длинам волн λ1 и λ2, равно:

			sin π		d
	U max
					λ	2
2		=						.
	U1max
			sin π		d
					λ1
Выражая			отсюда						U 2max , получим окончательный ответ задачи.

Подстановка численных данных из условия дает результат U 2max =10 мкВ.

Пример 13.5. Оцените поперечную компоненту электрического поля заряда q, в течение небольшого промежутка времени двигавшегося равноускоренно с ускорением a. Примечание: поперечным считается направление, перпендикулярное отрезку, соединяющему заряд и точку, где рассматривается его электрическое поле.

250 §13. Электромагнитные волны

Решение. Для начала конкретизируем закон движения заряда. Итак, пусть он при t<0 покоился в начале координат, потом в течение небольшого промежутка

		времени	t	двигался		вдоль	оси	Ox	с
		заданным ускорением a, после чего
		продолжал движение в том же направлении с
		набранной скоростью. Рассмотрим картину
		силовых линий электрического поля,
		создаваемого этим зарядом в момент
		времени	t0	>> t .	Как	известно,		любые
		электромагнитные					возмущения
		распространяются			в	пространстве			со
		скоростью		света	с0	(рассматриваем
		уединенный		заряд	в вакууме). Поэтому,
		«информация» о том, что заряд начал
	Рис.13.4	двигаться при t=0, к моменту времени t0
		будет «недоступна» за пределами сферы
	радиуса R1 = c0 t0 с центром в начале координат. Таким образом,						за пределами

этой сферы электрическое поле будет точно таким, как поле, создаваемое зарядом, покоящимся в начале координат, т.е. его силовые линии радиально расходятся из точки O. Рассмотрим одну такую линию, составляющую угол θ с

осью Ox (см. рис.13.4). Как устроено электрическое поле ускоренно движущегося заряда, мы пока не знаем. Зато нам известно, что при t > t заряд двигался равномерно, создавая поле, которое в каждый момент времени выглядит как электростатическое, но перемещается вместе с зарядом. Внутри сферы радиусом R2 = c0 (t0 − t ) с центром в точке, соответствующей положению заряда в момент времени t0, «информация» о прекращении ускоренного движения заряда уже «доступна». Поэтому на поверхности этой сферы электрическое поле заряда q в момент времени t0 определяется его положением s в рассматриваемый момент времени: