electrodynamics

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа				231
12.23. Каково должно быть α			,	чтобы
при замыкании ключа в момент t				= 0 в
цепи	(рис.12.30)	сразу	наступил
установившийся режим?

Рис.12.30

12.24. Найдите ток через резистор R (рис.12.31) после замыкания ключа, если начальные токи в индуктивностях равны нулю, а магнитной связи между катушками нет.

Рис.12.31

12.25. Рубильник К (рис.12.32) замкнут в течение продолжительного времени и размыкается в момент t = 0 . Найдите напряжение на рубильнике U (t ) .

Рис.12.32

232 §12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

12.26. Найдите напряжение U (t ) (рис.12.33) на правом конденсаторе, если в момент t = 0 ключ

К: а) замыкается, б) размыкается.

Рис.12.33

Рис.12.34

12.27. Через какой промежуток времени после замыкания ключа в схеме, изображенной на рис.12.34 напряжение на конденсаторе 3С будет наименьшим?

12.28. Найдите ток через резистор 3R

в схеме на рис.12.35 после замыкания ключа, если начальные напряжения на всех конденсаторах равны нулю?

Рис.12.35

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

233

12.29. Найдите ток через сопротивление

R (рис.12.36) как функцию времени, протекшего после замыкания ключа К.

Рис.12.36
12.30. Как будет изменяться со временем
ток I в цепи, представленной	на	Рис.12.37
рис.12.37, после замыкания ключа?
Вынужденные колебания в цепи переменного тока
12.31. Два конденсатора С1 и С2 и
сопротивление		R соединены по	схеме,
показанной на рис.12.38. Определите силу
тока	через	сопротивление	R	и
конденсатор С1.

рис.12.38

12.32. При каком соотношении между

частотой	переменного тока	ω	и
параметрами схемы (рис.12.39) r, L и			С
сдвиг фаз	между напряжением и	током

Рис.12.39

через источник будет равен нулю?

234	§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

12.33. Найдите зависимость от частоты амплитуды напряжения V в схеме,

показанной на рис.12.40.

Рис.12.40

12.34. Найдите мощность W , рассеиваемую в схеме, показанной на рис.12.41.

Рис.12.41

12.35. Какова должна быть емкость конденсатора С, чтобы мощность, выделяемая в цепи, изображенной на рис.12.42, была максимальна. Найдите эту максимальную мощность.

Рис.12.42

12.36. Найдите сдвиг фаз между напряжениями U1 и U 2 в схеме,

показанной на рис.12.43.

Рис.12.43

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

235

12.37. Найдите сдвиг фаз между токами I1

и I 2 в схеме, показанной на рис.12.44.

Рис.12.44

12.38. Найдите сдвиг фаз между напряжениями

U 1 и U 2 в схеме, показанной на рис.12.45.

Рис.12.45

12.39. Найдите сдвиг фаз между токами

Рис.12.46

I1 и I 2 в схеме, показанной на рис.12.46, если известно, что сдвиг фаз между токами I 3 и I 4 равен ϕ .

Элементы, обозначенные *, имеют неизвестные, но одинаковые импедансы.

236	§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа
12.40. Найдите значения	L1 , L3 , C3 ,
при которых цепь, показанная		на
рис.12.47а, на любой частоте ведет
себя так же как цепь, показанная на
рис.12.47б. если параметры	L0 , L2	и
C2 известны.

Рис.12.47

12.41. В момент t = 0 контур r, L

замыкается накоротко (рис.12.48). Определите величину тока в этом контуре.

Рис.12.48

12.42. Найдите сдвиг фаз между напряжениями U1 и U 2 в схеме,

показанной на рис.12.49.

Рис.12.49

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа		237
12.43.	Найдите	максимально
возможный сдвиг фаз между токами
I1 и	I 2 в схеме,	показанной на

рис.12.50. При какой частоте он достигается?

Рис.12.50

12.44. Найдите сдвиг фаз между напряжениями U 1 и U 2 в схеме,

показанной на рис.12.51.

		Рис.12.51
12.45.	Схема		(рис.12.52)
присоединена		к	источнику
переменной		ЭДС	заданной

Рис.12.52

амплитуды U 0 . При некотором R в схеме выделяется наибольшая мощность. Найдите эту мощность.

Рис.12.53

238	§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

12.46.Найдите среднюю мощность, отдаваемую источником в схеме, показанной на рис.12.53.

12.47.Найдите сдвиг фаз ϕ между токами I1 и I 2 в схеме, показанной на рис.12.54.

рис.12.55

12.48. Сила тока в катушке L1 в

схеме, показанной на рис.12.55, равна

рис.12.54

I 0 cosωt . Найдите ЭДС.

12.49. Найдите сдвиг фаз между напряжением на конденсаторе и током через сопротивление r в схеме, показанной на рис.12.56.

Рис.12.56

§13. Электромагнитные волны

239

§13. Электромагнитные волны

Краткие теоретические сведения

Рассмотрим свойства электромагнитного поля, существующего в однородном (ε=const, µ=const) незаряженном ( ρ ≡ 0 ) диэлектрике. Из системы уравнений Максвелла для напряженности электрического поля можно получить так называемое волновое уравнение:

E −	1			∂ 2 E	= 0,	(13.1)
	c	2		∂t 2

где c = (εε 0 µµ 0 )−1 2 . Аналогичное уравнение справедливо и для напряженности магнитного поля в диэлектрике (или в вакууме, чему соответствует ε=µ=1). В

общем случае волновое уравнение описывает некоторое возмущение электромагнитного поля, распространяющееся в среде со скоростью с, которую обычно представляют в следующем виде:

c =

c0

,

(13.2)

εµ

c

=

1

= 3

108 м/с .

(13.3)

0

ε 0 µ 0

Определенная таким образом константа с0 есть не что иное как скорость света в вакууме. Соответственно, выражение (13.2) описывает скорость

распространения электромагнитных возмущений в диэлектрике, которая в εµ

раз меньше скорости света в вакууме. Для электромагнитных волн видимого диапазона, которые могут распространяться в диэлектриках с µ≈1, принято

240	§13. Электромагнитные волны

вводить показатель преломления среды n = ε , показывающий во сколько раз данное вещество уменьшает скорость волны.

Важным частным случаем общего решения волнового уравнения является плоская монохроматическая электромагнитная волна, поле которой описывается следующими формулами:

E = E A cos(ωt − kz) ,	(13.4)
H = H A cos(ωt − kz ),	(13.5)
где E A и H A – амплитудные	значения напряженности электрического и

магнитного поля, ω – круговая частота волны, а k – ее волновое число, определенное так:

k =	ω	=	2π	,	(13.6)

cλ

λ– длина волны. В выражениях (13.4-5) координата z отсчитывается вдоль направления распространения волны. Важность рассмотрения свойств плоских монохроматических волн связана с тем, что принцип суперпозиции позволяет представить произвольную электромагнитную волну в виде суммы (в общем случае – бесконечной) плоских монохроматических волн.

Как следует из уравнений Максвелла, электрическое и магнитное поле плоской монохроматической электромагнитной волны не являются независимыми, а связаны следующим соотношением:

εε 0 [nE] = µµ 0 H ,

(13.7)

где n – единичный вектор, задающий направление распространения волны.

Таким образом, векторы n , E и H в каждый момент времени образуют правую тройку, т.е. плоская электромагнитная волна является поперечной: