Математика производные и пределы
.pdf11 |
6.56 |
Найти производную функции |
|||||||||
|
y = x2e−2 x . |
|
|
|
|
|
|||||
|
6.57 |
Найти производную функции |
|||||||||
12 |
|
y = e |
x / 3 |
cos |
2 |
x |
. |
||||
|
|
|
|
|
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.63 |
Найти производную функции |
|||||||||
13 |
|
y = cos |
2 |
|
|
x |
|||||
|
|
|
sin |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
6.68 |
Найти производную функции |
|||||||||
14 |
|
y = |
e−x2 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.70 |
Найти производную функции |
15y = 2 sin2 x .
6.71Найти производную функции
16y = 32x .
6.73Найти производную функции
17y = log2 ln 2x .
6.81Используя предварительное логарифмирование, найти
18производную функции
y = (x −3)2 (2x −1). (x +1)3
6.87 |
Используя предварительное |
19 |
логарифмирование, найти |
производную функции |
|
|
y = x3 x . |
6.88Используя предварительное логарифмирование, найти
20производную функции y = (ln x)1/ x .
6.89Используя предварительное логарифмирование, найти
21производную функции
|
y = (sin x)arcsin x . |
|
|
6.94 |
Вводя промежуточные |
22 |
переменные, вычислить |
производную функции |
|
|
y = (arccos x)2 ln (arccos x). |
2xe−2 x (1 − x)
1 |
e |
x / 3 |
|
|
|
2 x |
−sin |
2x |
|||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
− |
1 |
cos |
x |
sin |
|
2sin |
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−e−x2 1 + 22x2 2x
2 sin2 x ln 2 cos x sgn (sin x)
32x 2x ln 3 ln 2
1
xln 2 ln 2x
(x −3)(19x −17)
(x +1)4
x3 x 3 + ln x
6 3 x2
( )1/ x 1 −ln x ln ln x ln x x2 ln x
(sin x) |
arcsin x |
ln sin x |
|
|
|
|
+ arcsin x ctgx |
||
1 − x2 |
||||
|
|
|
−arccos x (2ln arccos x +1) 1 − x2
141
ДЗ № 5. Дифференцирование функций
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№ № по |
|
|
|
|
|
Задание |
||
п/п Еф. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.106 |
Найти производную функции |
|||||||
1 |
y = |
1 |
|
ln |
x |
3 − |
2 |
. |
|
2 |
6 |
x |
3 + |
2 |
6.134 Докажите, что производная
2периодической функции есть функция также периодическая.
|
|
|
|
6.165 |
Пусть y = a(x) - функция, обратная |
3 |
|
заданной y = f (x). Выразить a '(x) |
|
через x и a(x), если y = 1 x + x3 . |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
6.184 |
Найти производную 2-го порядка от |
|
функции y = cos2 x . |
|
5 |
6.185 |
Найти производную 2-го порядка от |
|
функции y = arctgx2 . |
|
|
|
|
6 |
6.192 |
Найти yIV (1), если y = x3 ln x . |
|
6.199 |
Найти формулу для n-й производной |
7 |
|
функции y = xm , m N . |
|
|
|
8 |
6.202 |
Найти формулу для n-й производной |
|
функции y = ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.220 |
Показать, что функция y = e−x cos x |
9удовлетворяет дифференциальному уравнению y(IV ) + 4 y = 0 .
6.168 |
Для функции, заданной параметрически, |
10 |
найти y 'x , если: x = 2t , y = 3t2 −5t , |
|
t (−∞;+∞). |
6.181 |
Найти y 'x в указанной точке, если |
11 |
x = t (t cost − 2sin t ), y = t (t sin t + 2cost ), |
|
|
Ответ |
|
||||||
1 |
|
, |
|
x |
|
< |
2 |
|
|
|
|
||||||
3x2 − 2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
2
1 + 6 a 2 (x )
−2cos 2x
2 −6x4
(1 + x4 )2
6
( m! ) xm−n , если m − n !
n ≤ m ; 0, если n > m .
(−1)n−1 (nx−n1)!
3t − 52
-1
142
t = π4 .
6.232 Найти производную 2-го порядка
12функции, заданной параметрически:
x= arctgt , y = ln (1 +t2 ), t (−∞;+∞).
6.146 |
Найти y 'x |
|
для функции, заданной |
||||||
13 |
неявно: |
|
x |
2 |
|
+ |
y2 |
=1. |
|
|
a |
2 |
|
b2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
6.147 |
Найти y 'x |
|
для функции, заданной |
||||||
14 |
неявно: x4 + y4 = x2 y2 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
6.149 |
Найти y 'x |
|
для функции, заданной |
||||||
15 |
неявно: 2 y ln y = x . |
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
6.153 |
Найти y 'x |
|
для функции, заданной |
||||||
16 |
неявно: x − y = arcsin x −arcsin y . |
||||||||
|
|
|
|||||||
6.224 |
Найти производную 2-го порядка от |
||||||||
17 |
функции, заданной неявно: y =1 + xey . |
||||||||
|
|
|
|||||||
6.238 |
Написать уравнение касательной и |
||||||||
18 |
нормали к графику функции y = f (x) в |
||||||||
|
данной точке, если: y = tg2x , x0 = 0 . |
||||||||
6.248 |
Показать, что касательные к гиперболе |
||||||||
19 |
y = |
x − 4 |
|
в точках ее пересечения с |
|||||
x − 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
осями координат параллельны между |
||||||||
|
собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.250 |
Составить уравнение такой нормали к |
||||||||
|
параболе y = x2 −6x + 6 , которая |
20перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
21 |
6.256 Найти углы, под которыми пересекаются |
кривые y = sin x и y = cos x , x [0,2π]. |
2(1 +t2 ) или 2sec2 x ,
x −π , π2 2
− b2 x a2 y
x(y2 − 2x2 )
y(2 y2 − x2 )
1
2(1 + ln y)
1 − y2 |
1 − |
1 − x2 |
|||||
1 − x2 |
1 − |
1 − y2 |
|||||
e |
2 y |
|
2 − xey |
|
|
||
( |
|
y |
) |
3 |
|
||
|
|
1 − xe |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y − 2x = 0 , 2 y + x = 0
4x − 4 y − 21 = 0
arctg2 2
143
ДЗ № 6. Дифференциал. Правило Лопиталя
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№ № по |
Задание |
|
п/п Еф. |
||
|
||
6.288 Найти дифференциал функции при |
1произвольном значении аргумента x и при произвольном его приращении
∆x = dx , если sin x − xcos x + 4 .
6.291 |
Найти дифференциал неявно заданной |
||
2 |
функции x4 + y4 = x2 y2 . |
||
|
|
||
6.305 |
Найти дифференциал 2-го порядка |
||
3 |
функции y = |
sin x |
. |
|
x |
||
6.316 |
Функция f (x)= 5 − x2 имеет на |
||
|
|
|
x4 |
|
концах отрезка [-1,1] равные значения |
||
|
(проверьте!). Ее производная f '(x) |
4равна нулю только в двух точках
x= ± 10 (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля?
6.317 Показать, что функция f (x) = x2 −1 на
5отрезке [-1,1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные точки этой функции.
6.322 Записав формулу Лагранжа дл
6
функции f (x) = 3x3 +3x на отрезке
[0,1], найти на интервале (0,1) соответствующее значение ξ .
|
6.328 Записав формулу Коши для |
7 |
f (x)= 2x3 +5x +1 и g (x) = x2 + 4 на |
|
отрезке [0,2], найти значение ξ . |
Ответ ln xdx
x(y2 − 2x2 )dx
y(2 y2 − x2 )
(2 − x2 )sin x − 2xcos x
x3 dx2
f(x) разрывна при
x= 0 [−1,1]
0
ξ =1/ 3
ξ1 =1/ 2 , ξ2 = 5/ 3
144
6.333 |
Указать тип неопределенности |
0 |
или |
|||||||||
8 |
∞ |
и вычислить lim ln sin ax . |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
x→0 |
ln sin bx |
|
|
|
|
|
||||
6.334 |
Указать тип неопределенности |
0 |
или |
|||||||||
9 |
|
|
|
|
e2 x −1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
и вычислить lim |
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∞ |
arcsin 3x |
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||
6.338 |
Указать тип неопределенности |
0 |
или |
|||||||||
10 |
∞ |
|
|
π − 2arctgx |
0 |
|
|
|
||||
и вычислить lim |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→+∞ |
e3/ x −1 |
|
|
|
|
||||||
6.343 |
Указать тип неопределенности |
0 |
или |
|||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
и вычислить lim |
x3 − 4x2 +5x − 2 |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
∞ |
x3 −5x2 + 7x −3 |
||||||||||
|
x→1 |
|
||||||||||
6.347 |
Указать тип неопределенности |
0 |
или |
|||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∞ |
и вычислить lim |
cos x ln (x −3) |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
∞ |
|
||||||||||
|
x→3+0 |
ln (ex −e3 ) |
|
|
|
6.354 Указать тип неопределенности 0 ∞
13 или ∞ −∞ и вычислить
lim(ex + e−x − 2)ctgx .
x→0
6.355 Указать тип неопределенности 0 ∞
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1/ x2 |
. |
|
|
или ∞ − ∞ и вычислить lim x e |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
6.358 |
Указать тип неопределенности 0 ∞ |
||||||||||
15 |
|
или ∞ − ∞ и вычислить |
|
|||||||||
|
|
lim ln x ln |
(x −1). |
|
||||||||
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.359 |
Указать тип неопределенности 0 ∞ |
||||||||||
16 |
|
или ∞ −∞ и вычислить |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
|
− |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→1+0 |
ln x |
|
|
|
ln x |
|
||||
|
6.360 |
Указать тип неопределенности 0 ∞ |
||||||||||
17 |
|
или ∞ − ∞ и вычислить |
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
− 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→0 arctgx |
|
x |
|
|
||||||
18 |
6.361 |
Указать тип неопределенности 0 ∞ |
||||||||||
|
или ∞ −∞ и вычислить |
|
||||||||||
|
|
|
1
2/3
2/3
1/2
cos3
0
+∞
0
-1
0
1/12
145
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
|
|
− |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
(1 − |
x ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→1 2 |
|
3(1 − 3 x ) |
|
|
|
|||||||
19 |
6.364 |
Указать тип неопределенности 00 , ∞0 , |
1 |
|||||||||||
|
1∞ и вычислить lim xsin x . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
20 |
6.366 |
Указать тип неопределенности 00 , ∞0 , |
||||||||||||
|
1∞ и вычислить |
lim |
|
(π − 2x)cos x . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2−0 |
|
|
|
2 |
|||
21 |
6.369 |
Указать тип неопределенности 00 , ∞0 , |
||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
x + 2 |
x |
1/ x |
. |
|
||||
|
|
1 и вычислить lim |
|
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞( |
|
|
|
|
|
1 |
|
22 |
6.371 |
Указать тип неопределенности 00 , ∞0 , |
||||||||||||
|
1∞ и вычислить |
lim |
|
(tgx)2 x−π . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→π /2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
6.374 |
Указать тип неопределенности 00 , ∞0 , |
e−6 |
|||||||||||
|
1∞ и вычислить lim(cos 2x)3 / x2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
ДЗ № 7. Формула Тейлора
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№ |
№ по |
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|||
п/п |
Еф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.380 |
Для многочлена |
7 +11(x −1) + |
||||||||||||
1 |
|
x4 |
+ 4 x2 − x + 3 написать |
+10(x −1)2 |
+ |
|
|||||||||
|
формулу Тейлора 2-го порядка в |
+ 4[1 +θ(x −1)](x −1)3 ; |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
точке x0 |
=1 . |
0 <θ <1 |
|
|
|||||||||
|
6.390 |
Написать первые n членов |
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
формулы Маклорена (без |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
остаточного члена) для функции |
− |
(5x)3 |
+.. |
|
|
||||||||
|
y = sin |
5x |
2 |
3 |
3! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 . |
.. + (−1) |
n |
(5x)2n+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22n+1 (2n +1)! |
|
146
|
6.388 |
Написать первые n членов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
формулы Маклорена (без |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
остаточного члена) для функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
x6 |
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+.. |
|
|
|
||||||
y = e |
−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 2! |
23 3! |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. + (−1)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n! |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.392 |
Написать первые n членов |
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
формулы Маклорена (без |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
остаточного члена) для функции |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y = 3 8 + x2 . |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
32 |
3! 82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
x6 |
|
+.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3! |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 1 3 5 8... (3n −4) |
|
x2n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
+(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n n! |
8n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6.397а |
Вычислить число sin1 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,842 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6.397б |
Вычислить число |
e с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,648 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
|
точностью до 0,001. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6.400б |
Используя разложение по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
формуле Маклорена, вычислите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
|
предел lim |
1 − cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x2 + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147
ДЗ №8. Исследование функций
Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения/ А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.
№ |
№ по |
|
|
|
|
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|
|
|||||||
п/п |
Еф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6.404 |
|
Найдите интервалы возрастания и |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
убывания и точки экстремума |
|
|
,1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
функции y = x |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞, |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ymax |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6.411 |
|
Найдите интервалы возрастания и |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
убывания и точки экстремума |
|
|
|
|
|
; ymin |
e |
||||||||||||||||||||||
|
|
0, |
|
|
|
; |
|
|
|
|
,∞ |
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
функции y = xx |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6.415 |
|
Определите наибольшее М и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6; −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
наименьшее m значения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y = |
x −1 |
|
на отрезке [0,4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.418 |
|
Определите наибольшее М и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
;0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
наименьшее m значения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y = arctg |
1 − x |
|
на отрезке |
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.422 |
|
Докажите неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
cos x >1 − |
x2 |
, x ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.425 |
|
Два тела движутся с постоянными |
|
|
|
av1 +bv2 |
[cек] |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
скоростями v1 м/с и v2 м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v21 + v2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Движение происходит по двум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6прямым, образующим угол π2 , в
направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на
148
|
|
расстоянии а м, а второе – на |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
расстоянии b м. Через сколько |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
секунд после начала движения |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
расстояние между телами будет |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
наименьшим? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6.431 |
Цилиндр вписан в конус с высотой |
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||
7 |
|
h и радиусом основания r. Найдите |
|
|
r |
πh |
||||||||||||||||
|
|
27 |
||||||||||||||||||||
|
|
наибольший объем вписанного |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
цилиндра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.435 |
На параболе y |
= |
x |
2 |
найдите точку |
1,1 |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
( |
|
) |
||||||||||||||||
|
N, наименее удаленную от прямой |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y = 2x − 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.443 |
Найдите интервалы выпуклости |
∩ (−1,1); (−∞,−1) и (1,∞) |
|||||||||||||||||||
|
|
графика функции |
|
|
|
|
|
|
M1 (−1, 3 2 ), M1 (1, 3 2 );k1 = k2 |
|||||||||||||
9 |
|
y = 3 |
x +1 − 3 |
x −1 ,точки перегиба |
||||||||||||||||||
|
|
и угловые коэффициенты k |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
касательных в точках перегиба. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6.446 |
Найдите интервалы выпуклости |
∩ (−∞,0); (0,∞); |
|||||||||||||||||||
10 |
|
графика функции y = xln |
|
x |
|
,точки |
M (0,0);k = ∞ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
перегиба и угловые коэффициенты |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
k касательных в точках перегиба. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6.452 |
Найдите асимптоты графика |
x = 2, y =1 |
|||||||||||||||||||
11 |
|
функции y = |
5 |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.457 |
Найдите асимптоты графика |
|
y = 0 |
||||||||||||||||||
12 |
|
функции y = |
sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6.471 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||
13 |
|
y = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
6.495 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = sin x + cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15 |
6.481 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y = 3 x +1 + 3 x −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6.491 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||
16 |
|
y = |
|
|
x2 − 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.498 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||
17 |
|
y = |
x |
|
+ arctgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18 |
6.507 |
Постройте график функции |
|
|
|
|
149
|
|
y = |
( |
x2 |
+1 e− |
x2 |
|
||
|
|
2 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
) |
|
|
|
||
|
6.511 |
Постройте график функции |
|
||||||
19 |
|
y = |
|
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
20 |
6.520 |
Постройте график функции |
|
||||||
|
y = xx , x > 0 . |
|
|
|
|||||
|
6.524 |
Постройте кривую |
|
||||||
21 |
|
x = tet , y = te−t , t R , заданную |
|
||||||
|
|
параметрически. |
|
||||||
|
6.525 |
Постройте кривую |
Парабола с вершиной в |
||||||
22 |
|
x = t2 − 2t, y = t2 + 2t, t R , |
начале координат, ось |
||||||
|
заданную параметрически. |
которой – прямая |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
y = x, x > 0, y > 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6.527 |
Постройте кривую |
Астроида |
||||||
23 |
|
x = a cos3 t, y = asin3 t, t [0,2π ), |
|
||||||
|
|
заданную параметрически. |
|
||||||
24 |
6.529 |
Постройте кривую ρ = asin 3ϕ , |
Трехлепестковая роза |
||||||
|
заданную в полярной системе |
|
|||||||
|
|
координат. |
|
|
|
||||
|
6.530 |
Постройте кривую ρ = a(1 + cosϕ), |
Кардиоида, полюс – точка |
||||||
25 |
|
заданную в полярной системе |
возврата, |
||||||
|
ρmax = ρ(0)= 2a , |
||||||||
|
координат. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρmin = ρ(π )= 0 |
150