Математика производные и пределы

5.2. Второй замечательный предел
	+	1 x
Функция y(x)= 1			при x → ∞ имеет предел, равный числу e :
		x
					+	1 x	.
				lim 1		= e
				x→∞		x

Этот предел называется вторым замечательным пределом. Во втором замеча-

тельном пределе имеет место неопределенность

∞

1 .

ПРИМЕР. Вычислите предел:

1 7 x

lim 1+

.

x→∞

x

1 7 x

∞

1 x 7

1

x 7

7

lim 1+

= lim

1

+

= lim 1

+

= e

.

= 1

x

x→∞

x

x→∞

x

x→∞

5.3. Эквивалентные бесконечно малые функции при x → 0

Первый и второй замечательные пределы позволяют установить эквивалент-

ность некоторых бесконечно малых функций и степенной функции при							x → 0
1−cos x	x2	,	1 ± x −1	±	x	, ax −1 x ln a , loga (1+ x)	x	,
	2						ln a
				2

(1+ x)α −1 αx .

Ряд эквивалентных бесконечно малых функций при x → 0

x sin x arcsin x tgx arctgx shx ex −1 ln (1+ x)

ПРИМЕР. Докажем эквивалентность ех −1 х.

lim ex −1 =

ex −1 =t

= lim

t

=

x = ln (1+t)

ln (1+t)

x→0

x

t→0

= lim

1

=

1

=

1

=1.

ln (limt→0

(1+t)t )

t→0 ln (1+t)t

ln e

ПРИМЕР. Вычислите lim ln(1+sin x) .

x→0

sin 4x

При x → 0 применим эквивалентность sin x x , sin 4x 4x .

lim ln(1+sin x)		= lim ln(1+ x)		=	1 lim ln(1+ x)		=	1	1 =	1 .
x→0	sin 4x	x→0	4x		4 x→0	x		4		4

41

cosπ x = cosπ (t +1)= cos (πt +π )= −cosπt,

tg2π x

ПРИМЕР. Вычислите lim 1+cosπ x .

x→1

Сделаем замену x = t +1, t = x −1 и перейдём в пределе к бесконечно малому аргументу t → 0 , что позволяет применить эквивалентность бесконечно-малых функций.

tg2π x = tg2π (t +1)= tg2 (πt +π )= tg2πt.

	1	+ cosπx		0		1−cosπt		2sin2 πt
lim					= lim		= lim	2
		2	=			2			=
								2
x→1		tg πx		0	t→0	tg πt	t→0	tg πt

		πt 2
				π	2	t	2	4 = 2 lim	1	= 1 .
= 2 lim		2	= 2 lim
t→0	(πt )2		t→0	π2t2				t→0	4	2

5.4. Предел степенно-показательной функции y = ( f (x))ϕ(x) ( f (x)> 0 ).

f (x)

ϕ(x) =

lim ϕ(x)

lim

lim f (x) x→x0 .

x→x (

)

x→x

0

0

Если lim f (x)

= A, lim ϕ (x)= B , применяя основное логарифмическое то-

x→x0

x→x0

ждество, получим

lim ϕ(x)lnf (x)

lim ϕ(x)ln lim

f (x)

lim

(

f (x) ϕ(x)

ϕ(x)

=

= lim eln(f (x))

= lim eϕ(x)lnf (x) = ex→x0

= ex→x0

x→x0

x→x

)

x→x

x→x

0

0

0

eB ln A = eln AB

lim ϕ(x)

= AB = lim f (x) x→x0 .

x→x

0

x +1

2 x−1

ПРИМЕР. Вычислите предел lim

.

x→∞ x − 2

1

Вычислим предел lim

x +1

= lim

1 + x

=

1+ 0

=1 и предел lim(2x −1)=∞. Таким

1−0

x→∞ x − 2

x→∞

1

2

x→∞

2 x−1

− x

x +1

∞

образом, функция

y =

порождает неопределенность 1

.

x − 2

42

x +1

x

+1

x +1− x +

2

3

1

=1+

−

1

=1+

=1

+

=1

+

.

x − 2

x − 2

x − 2

x − 2

x − 2

3

(2x−1)

3

2x−1

3

x−2

x−2

x +1

2x−1

1

1

∞

limx→∞

=(1

)= limx→∞

1+

== limx→∞

1

+

=

x −2

x −2

x −2

3

3

3(2x−1)

lim

6x −3

= e6 , поскольку lim

= 6.

= ex→∞

x−2

x→∞

x −2

6.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1.Теорема об устойчивости знака непрерывных функций

Если

f (x) -

непрерывна

в точке x0 и

f (x0 ) ≠ 0 ,

то

существует

такая

δ – окрестность

точки x0 ,

что для всех значений

x

из

этой окрестности

f (x) ≠ 0

и имеет знак, совпадающий со знаком

f (x0 ) .

6.2. Непрерывность обратной функции

Теорема

[a,b]

Пусть функция y = f (x)

-

строго монотонная и

непрерывная на

функция, α = f (a), β = f (b) . Тогда существует функция

x = f −1( y)

- строго монотонная и непрерывная на [α, β].

ПРИМЕР.

π

,

π

y = sin x , x −

2

- строго монотонна и

2

непрерывна, следовательно, имеет строго монотонную и

непрерывную обратную функцию x = arcsin y ,

y

[

]

−1,1 .

После переобозначения имеем y = arcsin x .

6.3. Непрерывность сложной функции

Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными:

Пусть: 1) x =ϕ(t) задана на множестве {t} и имеет множество значений {x}; 2) y = f (x) задана на множестве {x}.

Тогда на множестве {t} задана сложная функция y = f (x) , где x =ϕ(t) или y = F(t) = f [ϕ(t)], x - промежуточный аргумент, t - независимая переменная.

43

ПРИМЕР. y = sin x , x = t2 ,

Теорема

Пусть функция x =ϕ(t) прерывна в точке x = b =ϕ прерывна в точке t = a .

y = sin t2 - сложная функция.

непрерывна в точке t = a , а функция y = f (x) не- (a) . Тогда сложная функция y = F(t) = f [ϕ(t)] не-

6.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Если f (x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

ПРИМЕР. Для	f (x) = sin x,		π	0 ≤ f (x) ≤1
		0,
			2

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной.

ПРИМЕР. Функция f (x) = 1x непрерывна на интервале

(0, 1), но на этом интервале функция f (x) не ограничена.

2.Если f (x) непрерывна на [a,b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

3.Если функция y = f (x) непрерывна на [a,b] и имеет на концах отрезка зна-

чения f (a) и f (b) разных знаков, то найдется точка ξ (a,b) такая, что f (ξ) = 0.

4. (О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Если функция y = f (x)- непрерывна на [a,b], имеет на концах отрезка

значения f (a) = A, f (b) = B и число С расположено между числами А и В: A < C < B , то найдется точка ξ (a,b) такая, что f (ξ) = C .

7. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Точка x0, в которой функция y = f (x) обладает свойством непрерывности,

называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции.

Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности.

44

7.1. Точки устранимого разрыва

Если

существуют

конечные

односторонние

пределы,

причем

lim f (x) =

lim

f (x),

а

функция

y = f (x) не

определена

в

точке

x0,

или

x→x0

−0

x→x0 +0

lim

f (x) ≠ f (x0 ), то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

x→x0

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

f (x),

x ≠ x ,

0

f1 (x) = lim

f (x), x = x .

x→x

0

0

2

− 4 , x ≠ 2,

ПРИМЕР.

f (x) =

x

x

− 2

x = 2.

5,

5

Точка

x = 2

-

точка

устранимого

разрыва,

поскольку

4

lim f (x) = lim f (x) = 4 ,

f (2) = 5 ≠ 4 .

2

x→2+0

x→2−0

2

− 4 , x ≠ 2,

x

0

Устраним разрыв: f1 (x) = x − 2

2

x = 2.

4

Функция f1(x) непрерывна всюду.

	ПРИМЕР. Исследуйте поведение функции f (x)=	sin x	в точке x0 = 0 .
		x

В точке x0 = 0 функция не определена, т.е. x0 = 0 - точка разрыва.

Ранее был доказан первый замечательный предел lim sin x =1, следовательно,
							x→0	x
lim sin x = lim sin x =1 и x = 0 является точкой устранимого разрыва.
x→0+0	x	x→0−0 x	0
	Чтобы функция стала непрерывной в точке x0 = 0 , доопределим ее, поло-
жив	f (0)= lim f (x)=1 (так называемое доопределение по непрерывности).
		x→0
			sin x			, x ≠ 0
				x			будет непрерывна на новой
Новая доопределенная функция f (x)=
				1,	x = 0

области определения – всей числовой оси.

45

7.2. Точки разрыва первого рода

Если в точке x0		существуют конечные односторонние пределы lim f (x)
			x→x0 −0
и lim f (x) и	lim	f (x) ≠	lim f (x), то точка x0 называется точкой разрыва
x→x0 +0	x→x0 −0		x→x0 +0

первого рода (неустранимый конечный скачок функции).

ПРИМЕР. Исследуйте поведение функции y =

x

в точке x = 0 .

x

0

В точке x0

= 0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю,

т.е. x0 = 0 - точка разрыва. По определению модуля

x

=

x,

x ≥ 0;

−x,

x

x < 0.

−x

= lim (−1)= −1.

Левый предел:

lim

= lim

x

x

x→0−0

x→0−0

x→0−0

Правый предел: lim

x

= lim

x

= lim (+1)=1.

x

x

x→0+0

x→0+0

x→0−0

Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следовательно, точка x0 = 0 является точкой разрыва 1-го рода.

ПРИМЕР. y = f (x) =	1		, x = 0 - точка разрыва f (x) .
		1
1 + 2x

x → +0

x → −0

lim

1

=

1

→+∞

= 0 , lim

1

=

1

→ −∞

=1.

1

x

1

x

x→0+0

x→0−0

1 + 2x

1

+ 2x

1

1

2x

→ +∞

2x

→ 0

x = 0 - точка разрыва первого рода.

7.3. Точки разрыва второго рода

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода

46

ПРИМЕР. f (x) =

рода; так как lim

x→0+

1

x f

, x = 0 - точка разрыва второго

(x) = +∞, lim f (x) = −∞.

x→0−

ПРИМЕР.			Определите точки			разрыва функции
		1
f (x)= ex			и исследуйте характер разрыва.
	Функция разрывна в точке					x0 = 0 .
Вычислим левый предел, учитывая, что
lim ex = 0 .Так как lim					1 = −∞, то
x→−∞	1			x→−0	х
lim eх		= 0 .
x→−0
	Вычислим правый предел, учиты-
вая,		что lim ex		= +∞.	Так	как
			x→+∞
	1		1
lim		= +∞, lim eх		= +∞.
x→+0	х		x→+0

Правый предел бесконечен, точка x0 = 0 является точкой разрыва 2-го ро-

да.

ПРИМЕР

f (x) = sin 1x , x = 0 -

точка разрыва второго рода; так как не существуют односторонние

пределы lim f (x) и

x→0+

lim f (x) .

x→0−

47

II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1.1.Основные определения

Пусть y = f (x) определена на (a,b) и x (a,b) - некоторая фиксированная

точка; ∆x - приращение аргумента в точке x ;			∆y = f (x + ∆x) − f (x) - соответст-
вующее приращение функции; ∆y	- отношение приращений (зависит от ∆x ;
∆x
x - фиксировано).
Производной функции f (x)	в точке	x	называется lim			∆y при условии,
					∆x→0	∆x
что он существует. Обозначение: y′ = dy = lim			∆y	= lim	f (x + ∆x) − f (x)		.
			∆x
	dx	∆x→0		∆x→0		∆x

Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x , если производная y′(x) существует; операция нахождения производной называется диффе-

ренцированием.

Функция f (x) называется дифференцируемой на интервале (a,b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций.

ПРИМЕР. y (x)=sin x, y′(x)= ?

						2cos		∆x	sin	∆x
	sin(x + ∆x) −sin x		0				x +
y′ = lim					= lim			2		2
		=									=
	∆x							∆x
∆x→0		0			∆x→0

	co s		x +	∆x	sin	∆x			sin ∆x
						2
= lim				2			= cos x , так как	lim	2	=1, а
				∆x					∆x
∆x → 0								∆x→0
		∆x							2
				= cos x .
lim cos x +
∆x→0			2

(sin x)′ = cos x .

48

ПРИМЕР. y(x) = loga x,	0 < a ≠1,		′
			y (x) = ?
										∆x
		x + ∆x				∆x		ln 1+
∆y = loga (x + ∆x)−loga	x = loga									x	;
				= loga 1	+		=
			x						ln a
						x

+

∆x

ln 1

x

∆x

1

y′ = lim

lim

=

;

∆x ln a

x ∆x ln a

x ln a

∆x→0

∆x→0

′

=

1

′

=

1

.

(loga x)

x ln a

, (ln x)

x

1.2.Геометрический смысл производной. Уравнения касательной

инормали к графику функции

	Рассмотрим	две точки графика функ-
ции	f (x) :	M (x, f (x))	и
P(x + ∆x, f (x + ∆x)) . MP - секущая.

При стремлении ∆x к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки M .

Касательной к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) называется прямая, положение которой занимает секущая при ∆x → 0 ( P → M ).

Нормалью к графику функции y = f (x)					в точке M (x, f (x)) называется пря-
мая, проведенная через точку касания перпендикулярно к касательной.
Если функция y = f (x)	имеет в точке x				производную f				′
									(x) , то график функ-
ции в точке M (x, f (x))									′
	имеет касательную с угловым коэффициентом f (x) .
Значение f ′(x0 ) позволяет записать уравнение касательной к кривой
y = f (x) в точке x0 :	y − f (x ) = f ′(x )(x − x							).
		0			0	0
По условию перпендикулярности прямых:						k1 k2 = −1,			уравнение нормали
принимает вид:					1
	y − f (x	) = −				(x − x ).
	0			f	′(x0 )			0
1.3. Механический смысл производной
Рассмотрим движение точки по прямой. S = f (t) -									перемещение точки в
	′		f (t + ∆t) − f (t)
момент времени t , V = f (t) = lim								- мгновенная скорость в мо-
					∆t
	∆t→0

мент времени t .

49

1.4.Производная суммы, разности, произведения и частного функций

1)(c)′ = 0 , c = const ;

2)( f (x) ± g(x))′ = f ′(x) ± g′(x) ;

3)(c f (x))′ = c f ′(x) ;

4)( f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + g′(x) f (x) ;

	f (x)	′		′		′
5)			=	f (x)g(x) − g (x) f (x)			, (g (x)≠ 0).
	g(x)			g	2	(x)

ПРИМЕР. y =3sin x +5log2 x −10, y′ = 3cos x + 5 1x log2 e .

1.5. Производная обратной функции

Теорема

Пусть f (x) : 1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 , 2) дифференцируема в точке x0 и f ′(x0 ) ≠ 0 , тогда:

производная обратной функции (f −1(y))в точке y0 = f (x0 ) существует и равня-

ется (f −1 ( y))′y=y0 = f ′(1x0 ) .

Доказательство

Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной обратной функции x = f −1 ( y) . Рассмотрим x = f −1 ( y) в окрестности точки y0 = f (x0 ) . Зададим приращение аргументу ∆y ; ему соответствует приращение

функции ∆x и ∆∆yx = ∆1y .

∆x

	Из строгой монотонности f −1 ( y) при ∆y ≠ 0 следует, что ∆x ≠ 0 . Устре-
мим ∆y → 0 , из непрерывности		x = f −1 ( y) следует ∆x → 0 . Но при ∆x → 0 ,
∆y	→ f ′(x0 ) , следовательно, ∆x →			1		.
∆x				f ′(x0 )
	∆y
	Таким образом, (f −1 ( y))′y=y0	=			1			.
					f ′(x0 )
	Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементарных
функций.
1).	y = ax , a > 0, a ≠1, x = loga y .

50