MP_praktikumNG

винтовые поверхности, поверхности с плоскостью параллелизма, поверхности переноса.

Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей по криволинейной направляющей m. При этом одна точка образующей всегда неподвижна. Определитель поверхности: S , m.

Цилиндрическая поверхность образуется прямой , пере-

секающей криволинейную направляющую m и параллельную заданному направлению s. Определить: m, ║s.(рис. 1.41).

а	б

Рис. 1.41. Образование а-конической и б-цилиндрической поверхностей

В частном случае, если направляющая m окружность, получим прямой круговой конус и цилиндр.

Торсовая поверхность представляет собой множество касательных к произвольной пространственной кривой n (к ребру возврата). Она может быть задана всего лишь одной линией – кривой n, которую следует рассматривать как геометрическую часть определителя поверхности. Ребро возврата делит поверхность на две плоскости.

Наглядное представление о своеобразном строении поверхности вблизи ребра возврата дают сечения ее плоскостью, перпендикулярной образующей и проходящей через точку касания этой образующей.

30

На рис. 1.42, эта кривая MKN, которая имеет в К точку воз-

врата.

Рис. 1.42. Образование торсовой поверхности

Развертывающиеся поверхности обладают ценным технологическим свойством: их можно обработать плоским инструментом, движение которого определяется только одним параметром. Торсы, например, широко используются в технике – поверхности косых зубьев цилиндрических шестерен, рабочие поверхности эвольветных червяков и кромок червячных фрез, откосы выемки и насыпи полотна железной дороги на кривой с подъемом и др.

Поверхности вращения могут быть линейчатыми, напри-

мер, конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми, например, сфера. Широко применяются в технике следующие поверхности вращения: тор – вращение окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности (обода маховиков и шкивов, термоядерный реактор «Токамак» - корпус которого представляет собой полую металлическую «банку» и др.); параболоид вращения

– вращение параболы вокруг оси (зеркала прожекторов, фар автомобилей, конструкции радиотелескопов и др.); гиперболоид вращения – вращение гиперболы вокруг мнимой или действительной оси (Шуховская башня, из шести секций – гиперболоидов, различные радиомачты, маяки, железобетонные градирни и др.).

31

Примеры и эпюры простых поверхностей представлены в табл. 3.

Таблица 3

Криволинейные поверхности

Наименование тела	Наглядное	Эпюр
	изображение
Прямой круговой ци-
линдр

Прямой круговой конус

Шар

Тор

32

1.17. Гранные поверхности и многогранники

Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом, если одна точка S образующей неподвижна – создается пирамидальная поверхность, если же образующая параллельна заданному направлению S – создается призматическая поверхность. Совокупность последовательных положений образующей и направляющей создает каркас поверхности (рис. 1.43).

Рис. 1.43. Образование гранной поверхности

Замкнутые гранные поверхности, образованные 4 и более гранями, называются многогранниками.

Элементами гранных поверхностей являются : S - вершина (у призматической поверхности она находится в бесконечности); грань – часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайними относительно него положениями образующей l;ребро – линия пересечения смежных граней.

Примеры гранных поверхностей и их эпюры представлены в табл. 2.

33

					Таблица 2
		Многогранники
Наимено-	Наглядное			Эпюр	Характер-
вание	изображение				ные при-
					знаки
Прямая					Боковые
призма					грани –
					прямо-
					угольники;
					ребра
					перпенди-
					кулярны
					к основа-
					нию
Наклонная					Боковые
призма					грани –
					параллело-
					граммы
Правильная					Основания-
призма					правильные
					много-
					угольники;
					Боковые
					ребра
					перпенди-
					кулярны
					к основа-
					нию
Параллеле-					Основания
пипед					параллело-
					граммы

34

			Продолжение табл.2
Наименова-	Наглядное	Эпюр		Характерные
ние	изображение			признаки
Прямо-				Основание –
угольный				прямоуголь-
параллеле-				ники. Боко-
пипед				вые ребра
				перпендику-
				лярны к ос-
				нованию
Правильная				Основание
пирамида				правильный
				многоуголь-
				ник. Боковые
				грани равно-
				бедренные
				треугольники
Неправиль-				Основания
ная				неправиль-
пирамида				ные много-
				угольники;
				Высота не
				проходит
				через центр
				основания

35

1.18. Развертки поверхностей

Поверхность называется развертывающейся, если она пу-

тем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. При этом исходим из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности с ребром возврата: торсы, конические и цилиндрические.

Линейчатые косые и нелинейчатые поверхности этим свойством не обладают. Существуют различные способы построения их условных разверток при помощи аппроксимации. Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке А на поверхности соответствует точка А' на развертке, и наоборот), обладающее следующими свойствами (рис. 1.44):

Рис. 1.44. Пример развертки поверхности

36

1)длина участка АВ линии l на поверхности равна длине участка А'В' соответствующей ей линии l на развертке;

2)угол между кривыми m и n на поверхности равен углу

' между соответствующими им кривыми m' и n' на развертке (углом между кривыми называется угол между касательными к ним в точке пересечения);

3) площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсека F' развертки.

В дифференциальной геометрии доказывается, что второе и третье свойства являются следствием первого. Первое свойство вытекает из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.

Из рассмотренных свойств следует:

1)прямой линии (A) на поверхности соответствует прямая (а') на развертке;

2)прямым, параллельным (а b) на поверхности, соответ-

ствуют прямые, параллельные (a' b') на развертке.

Однако оба указанных свойства обратной силы не имеют, т. е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения. Если кривой линии, принадлежащей поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта кривая линия является геодезической для данной поверхности.

1.19. Построение разверток многогранников

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников - граней, а иногда и некоторых других элементов. Ребра многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания.

37

Построение развертки пирамиды

Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды (рис. 1.45) необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.

Рис. 1.45. Построение развертки пирамиды

Натуральные величины ребер пирамиды могут быть определены способом вращения вокруг оси, проходящей через вершину S и перпендикулярной плоскости П1. Следующая операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к полученной фигуре основание (АВС), получим полную развертку пирамиды. Построение на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа.

Построение развертки призмы

Наклонная призма изображена на рис. 1.46. Призма расположена так, что ее боковые ребра параллельны плоскости π2 и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на плоскость π без

38

искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения истинной формы боковых граней (рис. 1.46).

Рис. 1.46. Построение развертки наклонной призмы

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Для построения параллелограмма необходимо помимо длины сторон знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью (2), перпендикулярной к ребрам, и определим истинную величину сечения способом замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном месте чертежа проводим горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки /1 - 2/ = /14 - 24/, /2 - 3/ = /24 - 34/ и /3 - 1/ = /34 - 14/. Через точки 1, 2, 3, 1

проводим перпендикуляры к прямой m и откладываем на них ве-

личины боковых ребер так, чтобы /А1/ = /А2l2/ и /lК/ = /l2К2/, /В2/ = /В222/ и /2L/ = /22L2/ и т. п.

Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания,

39