MP_praktikumNG

Прямая в ортогональной системе плоскостей проекций. Взаимное положение двух прямых

Пример 3

Достроить недостающую проекцию горизонтальной прямой АВ длиной 50 мм (рис. 2.4, а).

а

Рис.2.4 б

Алгоритм решения.

Горизонтальная прямая расположена в первой четверти пространства и на горизонтальную плоскость проекций π1 проецируется в натуральную величину. Следовательно, если на эпюре мы возьмем две проекции такой прямой, то фронтальная проекция этой прямой должна быть параллельна оси проекций ОХ, а горизонтальная проекция такой прямой откладывается длиной 50

мм (рис. 2.4, б).

Пример 4

Построить эпюр фронтальной прямой АВ в IV четверти пространства под углом 30° к плоскости π1 (рис. 2.5, a).

а

б

Рис. 2.5

60

Алгоритм решения.

Для решения задачи необходимо представить пространственное положение прямой в IV четверти пространства и ее отображение на эпюре. При проецировании прямой на плоскости проекций ее горизонтальная проекция будет расположена на нижней полуполе плоскости π1 а фронтальная проекция на нижней полуполе плоскости π2. При совмещении плоскостей на эпюре получим размещение проекций прямой под осью проекций ОХ. Одна из которых - А1В1 будет параллельна оси ОХ, а вторая проекция прямой – А2В2 расположена под углом наклона 30º к направлению оси ОХ, который и будет являться углом наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций π1 (рис. 2.5 б).

Пример 5.

Построить прямые a и b - пересекающиеся в т. K (рис. 2.6).

	K2	b2
		a2
x	K1	b1
		a1
		Рис. 2.6
	Алгоритм решения

Одноименные проекции этой прямой пересекаются и точки их пересечения являются проекциями точки пересечения этих прямых т. K . a b → K

а2	b2 →K2
a1	b1 →K1
(	- пересечение, объединение множеств)

61

Взаимное расположение двух прямых Пример 6.

Заданы две проекции прямой m . Провести прямую n так, чтобы выполнялосьусловие n // m

Алгоритм решения

Проекции прямой n параллельны соответствующим проекциям прямой m : n2//m2; n1 // m1 .(рис. 2.7)

m2	n2

x
m1	n1

Рис. 2.7

Следует отметить, что пересекающиеся и параллельные прямые принадлежат одной плоскости.

Пример 7

Выяснить взаимное положение прямых АВ и СД (рис. 2.8, а)

а	Рис. 2.8	б

Алгоритм решения

Для решения задачи необходимо достроить горизонтальные проекции прямых на эпюре и определить по эпюру имеют ли прямые общую точку пересечения, которая проецируется по линии связи на все

62

проекции. Если такой точки не имеется и заданные прямые не параллельны между собой, то значит они скрещивающиеся (рис. 2.8, б).

Пример 8

Прямые АВ и СД пересечь горизонтальной прямой, отстоящей от плоскости π1 на расстоянии 40мм (рис.2.9, а).

а

б

Рис. 2.9

Алгоритм решения

Согласно условию, искомая прямая должна быть параллельна плоскости проекций П1. Следовательно, ее фронтальная проекция параллельна оси проекций ОХ и отстоит от нее на расстоянии 40мм. Проводим фронтальную проекцию этой прямой и отмечаем точки пересечения ее с одноименными проекциями заданных прямых. И соответственно находим эти точки на горизонтальной проекции по линиям связи и проводим через полученные точки горизонтальную проекцию искомой прямой (рис. 2.9, б).

Пример 9

Достроить недостающую проекцию прямого угла АВС (рис 2.10, а).

а

б

Рис. 2.10

63

Алгоритм решения

Известно, что прямой угол проецируется на плоскость в виде прямого угла в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая пересекает эту плоскость под углом. В данном случае фронтальные проекции АС и СВ построены под прямым углом между собой. Следовательно на горизонтальной проекции одна проекция прямой (АС) должна быть параллельна оси ОХ.

Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона его к плоскостям проекций

Пример 10

Определить натуральную величину прямой способом замены плоскостей проекций. Через горизонтальную плоскость проекций. (Чертеж распространить вниз). Через фронтальную плоскость проекций (чертеж распространить вверх) (рис. 2.11, а).

Условие Решение

а

б

Рис. 2.11

Алгоритм решения

1) Исходя из условия задачи, новую плоскость π4, а значит новую ось O1 Х1 выбираем параллельно одной из проекций прямой

O1 Х1// А1В1

2) По линии проекционной связи откладываем от оси O1 Х1 расстояние Zа и Zв и находим А4 и В4 (рис. 2.11, б).

64

3)Проекция А4В4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол

αнаклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций π1 определяется также на новой плоскости проекций π4

Пример 11

Определить расстояние от точки Р до прямой произвольного положения АВ (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Алгоритм решения

Задача решается способом перемены плоскостей проекций. Искомое расстояние есть перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую АВ. Решение задачи требует двойной замены плоскостей. Опустить перпендикуляр из точки на прямую на эпюре можно только в том случае, если эта прямая параллельна какой-либо плоскости проекций (теорема о проекции прямого угла). Отсюда заменяем, например, горизонтальную плоскость проекции П1, новую П3, параллельную прямой АВ. Для этого прово-

дим ось О1Х1 параллельно проекции А2 В2 .

65

В новой системе π1/π3 найдѐм горизонтальные проекции прямой AB ( А3В3 ) и точки С (C3). Затем, опустив перпендикуляр

из точки С3 на прямую А3В3, получим точку К3 (основание перпендикуляра.). Для определения натуральной величины перпендикуляра СK заменим плоскость π3 на плоскость π4 так, чтобы она была параллельна перпендикуляру СК, тогда прямая АВ спроецируется на неѐ в точку (А4В4), а перпендикуляр в натуральную величину прямая С4К4. После решения находим проекции перпендикуляра в исходной системе π2/π3,т.е.точки К2 и К1.

Плоскость. Прямая и точка в плоскости Пример 12

Плоскость Ω задана треугольником. Провести прямую а па-

раллельную данной плоскости.

Алгоритм решения

1.Провести прямую а, параллельно какой-либо стороне треугольника: а // АВ; а // BC; а // AC;

2.Провести прямую а параллельно любой прямой d при-

надлежащей плоскости: a // d Ω

3.Провести прямую a, параллельную прямым уровня (горизонтали или фронтали): а // h ; a // f, (рис. 2.13).

Рис. 2.13

66

Пример 14

Достроить недостающую проекцию прямой АВ параллельной заданной плоскости (рис. 2.14, а).

а

б

Рис. 2.14

Алгоритм решения

Провести на фронтальной плоскости любую проекцию прямой параллельной заданной прямой АВ. Определить точки пересечения 1-2 этой прямой с прямыми Е и К принадлежащими плоскости. Построить по линиям связи горизонтальные проекции точек 1-2 и провести через них горизонтальную проекцию прямой. Провести через т. В1 прямую, параллельную прямой 1121

(рис. 2.14, б).

Пример 15

Через точку С провести плоскость, параллельную прямой АВ (рис. 2.15, а).

а

б

Рис. 2.15

67

Алгоритм решения

Плоскость, проходящую через т.С можно задать двумя пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна заданной прямой АВ (рис. 2.15, б).

Пример 16

Через точку Е провести плоскость параллельную плоскости, проходящей через точку С, задав ее параллельными прямы-

ми (рис. 2.16, а).

а

б

Рис. 2.16

Алгоритм решения

Через т. Е проведем две проекции параллельных прямых, одна из которых параллельна прямой, принадлежащей плоскости, проходящей через т.С., заданной пересекающимися прямыми

(рис. 2.16, б).

Пример 17

Выяснить, параллельны ли данные плоскости?

а	Рис. 2.17	б

68

Алгоритм решения

На фронтальной проекции проведем прямую, принадлежащую одновременно двум плоскостям и пересекающую прямые принадлежащие этим плоскостям. Если горизонтальная и фронтальная проекции этой прямой параллельны проекциям хотя бы одной прямой принадлежащей заданным плоскостям, то эти плоскости параллельны (рис. 2.17, б).

Пример 18

Определить линию пересечения плоскости Т и АВСР (рис.

2.18. а).

а

б

Рис. 2.18

Алгоритм решения

Как известно, для нахождения точки пересечения с плоскостью общего положения следует через прямую провести вспомогательную плоскость горизонтально – проецирующую плоскость, построить линию пересечения этой плоскости с заданной и полученная прямая (1-2) будет являться искомой линией пересечения

(рис. 2.18. б).

Пример 19

Определить точку встречи прямой NM с заданной плоскостью (рис. 2.19).

Алгоритм решения

Для нахождения точки пересечения прямой ЕК с плоскостью треугольника АВС следует через прямую провести вспомогательную горизонтальнопроецирующую плоскость Q. Линия пересечения 1-2 полученная при введении вспомогательной плоскости будет пересекаться с заданной фронтальной проекцией прямой ЕК в точке К.

69