MP_praktikumNG

1.22.Аксонометрические проекции поверхностей

Винженерной практике для изображения объемных тел используют ортогональную аксонометрию (изометрию) и диметрию.

Изометрия

Прямоугольная изометрия характеризуется тем, что коэффициенты искажения по осям составляют 0,82. В практике они принимается равными 1, поэтому изображение увеличивается в 1,22 раза (рис. 1.51).

	Z
1	1		Z
			1
		1		120
		1	120	1
					Y
1,22 d
X		Y
	0,71 d

Рис. 1.54. Прямоугольная изометрия.

Окружность вписывают в виде эллипсов. Вместо эллипсов упрощенно вычерчиваются овалы (рис. 1.55).

Рис. 1.55. Изометрия окружности

50

Диметрия

Прямоугольная диметрия характеризуется тем, что коэффициент искажения по осям равны 0,47 и 0.94. В практике они принимается равными 0,5 и 1, поэтому изображение увеличива-

ется в 1,06 раз (рис. 1.56).

Z

0,5 d

1

0.5

1

X

		0,95 d		Z	1,06 d	Y
				1
	7 10					41 25
		8			8
1			1	0.5
	X					7

Y

Рис. 1.56. Изометрия куба

Окружность вписывают в виде эллипсов. Вместо эллипсов упрощенно вычерчиваются овалы. Окружность на фронтальной плоскости приближенно вычерчивается без искажения.

Проще всего использовать упрощенную прямоугольную диметрию.

51

Контрольные вопросы и задания

1.В чем значение начертательной геометрии?

2.Что такое проекции?

3.Назовите свойства центральных и параллельных проек-

ций.

4. В чем состоит смысл метода Монжа? Что такое эпюр Монжа?

5. Что такое система 1 2 ? Как получается чертеж точки в системе 1 2 ?

6. Что такое проекция точки, плоскости проекций, линии связи? Постройте точку в системе трех плоскостей проекций

12 3 ? Что такое комплексный чертеж точки?

7.Точки в четвертях пространства. Можно ли построить чертеж точки без указания осей проекций?

8.Способы преобразования чертежа (на примере точки).

9.Какими способами в пространстве задаются прямая, плоскость?

10.Какие прямые называются параллельными, пересекающимися, скрещивающимися?

11.Каковы отличительные признаки плоских фигур: треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата, окружности? Какой треугольник называют равнобедренным, равносторонним, прямоугольным?

12.Как построить точку, принадлежащую какой-либо плос-

кости?

13.Какими признаками определяется прямая, параллельная плоскости, принадлежащая ей, пересекающая плоскость?

14.Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Привести примеры прямой, параллельной одной плоскости проекций (прямые уровня). Привести примеры прямой параллельной двум плоскостям проекций (проецирующие прямые).

15.Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проек-

ций 1, 2.

16. Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже.

52

17.Прямые, занимающие особое положение в плоскости. Привести примеры построения этих прямых.

18.Положение плоскости относительно плоскостей проек-

ций.

19.Каковы признаки параллельных, совпадающих, пересекающихся плоскостей?

20.Как измерить величину двугранного угла между двумя пересекающимися плоскостями?

21.Как построить перпендикуляр к плоскости и как построить плоскость, перпендикулярную другой плоскости?

22.Определение натуральной величины плоской фигуры способом вращения (методика).

23.Определение натуральной величины плоской фигуры способом перемены плоскостей проекций (методика).

24.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения. Методика нахождения точки встречи.

25.Параллельность прямой и плоскости. Привести приме-

ры.

26.Построение взаимно параллельных плоскостей.

27.Построение взаимно перпендикулярных прямой и плос-

кости.

28.Поверхности. Классификация. Способы задания.

29.Построение проекций многогранников. Чертежи призм и пирамид.

30.Привести примеры пересечения призм и пирамид прямой линией и плоскостью (проецирующей).

31.Общие приемы развертывания гранных поверхностей (призмы и пирамиды).

32.Привести примеры кривых.

33.Пересечение цилиндрической поверхности проецирующей плоскостью. Привести пример построения развертки.

34.Пересечение конической поверхности проецирующей плоскостью. Привести пример построения развертки.

35.В чем заключается способ аксонометрического проецирования? Прямоугольные аксонометрические проекции. Коэффициенты искажения и углы между осями.

36.Окружность в аксонометрической проекции.

53

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1. Группы задач

Позиционные задачи, в которых определяется относительное положение или общие элементы геометрических фигур. К ним относятся задачи на принадлежность точки и линии поверхности, выражающие отношения между геометрическими фигурами, задачи на определение общих элементов геометрических фигур и т.п.

Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами

Общая схема решения задач этой группы:

1.Одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе заданные геометрические фигуры (или одну из них)

вположение, перпендикулярное какой-либо плоскости проекций.

2.Построить проекцию искомого отрезка на эту плоскость.

3.На основании этой схемы составляется алгоритм решения каждой конкретной задачи этой группы.

Выбирая способ преобразования комплексного чертежа при составлении алгоритма, следует исходить из требований компактности чертежа, четкости и простоты графических операций.

Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними

Общей схемой решения задач этой группы является приведение заданной плоской фигуры или плоскости угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.

При выборе способа преобразования комплексного чертежа следует стремиться к простоте графических операций, их четкости и наименьшему количеству. В этом смысле способ вращения

54

вокруг линии уровня является наиболее целесообразным для решения большинства задач данной группы, так как дает решение путем одного преобразования комплексного чертежа:

-Определение действительной величины плоской фигуры;

-Определение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми;

-Определение величины угла, образованного прямой и плоскостью;

-Определение величины угла между двумя плоскостями. Комплексными называются задачи, в которых на искомое

наложены два условия и более. Их решение выполняется по следующей общей схеме:

-вводятся вспомогательные геометрические фигуры (множества), каждая из которых, в отдельности удовлетворяет одному из условий, наложенных на искомое;

-определяется искомое как результат пересечения введенных в

задачу вспомогательных множеств.

При решении конкретной комплексной задачи первый пункт приведенной выше общей схемы необходимо расшифровать, т. е. точно указать, сколько и какие именно вспомогательные множества (по виду и положению) должны быть введены для определения искомого. Этот вопрос может быть решен только после проведения анализа условий задачи.

Анализ является первым этапом решения задачи. Он включает следующие цели:

а) выявить искомое, изучить заданные геометрические фигуры и представить их пространственное расположение;

б) установить взаимосвязь искомого с каждой из заданных геометрических фигур и определить условия, которым он должен удовлетворять; каждое выявленное условие должно быть однозначным;

в) выявить геометрические фигуры, каждая из которых является множеством элементов, удовлетворяющих одному из условий, наложенных на искомое; количество множеств равно количеству условий.

Таким образом, анализ позволяет наметить содержание и последовательность пространственных операций, необходимых

55

для определения искомого, т. е. составить алгоритм решения задачи. Вторым этапом решения задачи является исследование. Исследование проводится с целью выявления условий существования решения и числа решений.

Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам

Общей схемой решения задач этой группы является:

-преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня;

-решение в плоскости уровня заданной метрической задачи;

-перенесение решения на исходные проекции обратным преобразованием.

Наиболее целесообразным при решении задач оказывается применение способа замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня.

Пример. Вписать окружность в треугольник АВС (рис. 2.1).

Рис 2.1.

Алгоритм решения.

56

1. Преобразовать треугольник АВС в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.

2. В плоскости уровня построить вписанную в треугольник окружность. Обратным преобразованием построить проекции окружности в исходной системе плоскостей проекций.

Построения. Для преобразования плоскости треугольника АВС в плоскость уровня выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале плоскость треугольника АВС преобразована в проецирующую, затем проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня. Построены проекции вписанной окружности в системе плоскостей проекций π4/π5. Проекции окружности в системе плоскостей проекций π1/π2, являющиеся эллипсами, построены по сопряженным диаметрам 1 - 2 и 3 - 4. На чертеже отмечены также точки касания окружности и сторон треугольника АВС.

57

2.2. Примеры решения задач

Точка и прямая в ортогональной системе плоскостей проекций

Пример 1

Построить эпюр и пространственное изображение точек А , В, С, Д с заданными координатами. Назвать четверти пространст-

ва (рис. 2.2, а).

а

б

Рис. 2.2

Алгоритм решения.

Координаты точек записываются последовательно как (Х; У;Z). Следовательно, чтобы построить наглядные изображения точек на плоскостях проекций сначала построим их проекции на соответствующих. Точки АХ и DХ выбираем на оси ОХ произволь-

но (рис. 2.2, б).

58

Пример 2

Построить эпюры точек С и D расположенных соответственно во II и IV четвертях пространства, E и F соответственно в плоскостях биссекторов II и III четверти пространства, M и N соответственно на задней и верхней полуполах плоскостей проекций, R на оси OX (рис. 2.3, а).

а

б

Рис. 2.3

Алгоритм решения.

Для решения задачи необходимо наглядно представить расположение точек в четвертях пространства и затем построить проекции этих точек на эпюре (рис. 2.3, б).

59