ПП_16_Неопр_инт_2

Вычислите ∫	x6	+2x4 +2x		2 −1		dx
		x	x2 +1 2
		(	)

Решение:

∫x6 +2x4 +2x2 −1 dx =

x(x2 +1)2

2

+1

2

4

2

+1

5

3

x x

=x x

+2x

=x

+2x

+x,

(

)

(

)

6

4

2

5

3

_ x +2x +2x −1

x +2x +x

=

=

6

4

2

x +2x +x

x

2

x −1.

2

2

(

2

x

−1

x

x

−1

∫

∫

)

=

x +

dx

=

+

dx

(

2

2

2

x

2

+1

x

2

+1

)

(

)

Разложим подынтегральную рациональную

дробь на простейшие:

x2 −1

=

A

+

Bx +C

+

Dx +E

.

x

2

+1

2

x

x2 +1

(

2

+1

2

x

x

ПП 16 №10

(

)

)

Приводим правую часть равенства к обще-

му знаменателю и приравниваем числители

левой и правой частей:

(

x2 −1 = A

x2 +1

2 +

(Bx +C)x

x2

+1 +

)

(

)

(

)

+(Dx +E)x

Приравниваем коэффициенты при одинако-

вых степенях x

в правой и левой частях этого равенства:

4

0 = A +B,

A =−1,

x

:

3

0 =C,

B =1,

x

:

2

C =0,

x

: 1=2A +B +D,

1

D =2,

x

: 0 =C +E,

0

−1= A

E =0.

x

:

(

2

2

x

−1

x

dx

∫

)

dx =

−

∫

+

2

x

x

2

+1

2

x

(

)

+∫

xdx

+∫

2xdx

=

x2 +1

(

2

2

x

+1

)

x2 +

2

	+	1	ln	x2 +1		−
		2		x2

1

− x2 +1 + +C.

11

	=			x2			−ln								x		+					1 ln											x2						+1											−										1			+C =
		2																				2								(																	)									x2 +1
	=			x2				+			1		ln					x2				+1								−											1											+C.
				2							2									x2																x2 +1
	Вычислите ∫																																						dx																					.
																							(				x	2											)(				x				2			+					4			)
																														+1
	Решение:																																																																								1		arctgx −
																																															x				2			+					4 −			x		2		+1
												dx																								1
																																																																									3
	∫																													=											∫																			(						)	dx =
ПП 16 №11		(					2					)(				2												)																			(							2						)(			2			)											1													x
																																				3
					x				+1 x +4																																										x					+1 x +4																								arctg
																																																																								−																							+
		1									dx												1															dx																																							6													2
	=				∫													−									∫																						=																								+C
		3								x2 +1															3							x2 +4
	=			1 arctgx −														1 arctg																x					+C.
		3																6																2
	Вычислите ∫																																	dx																				.
																									x		4							2									+						3
	Решение:																												−4x
	∫										dx									=∫																						dx																	=
				x4 −4x2 +3																											(					2			−2										2
																																		x																		−1																			1															x − 3
																																															)																															ln																				−
																																																					2												2					4			3													x + 3
																																																	x						−1 − x											−3
ПП 16 №12	=∫														dx																=						1				∫(																			) (						)dx =													1				x −1
					(				2				)(						2									)																					(						2					)(			2
																																				2																														)
								x −3 x −1																																												x					−3 x −1													−			4				ln							x +1										+C
		1										dx														1												dx
	=				∫														−										∫																						=
		2									x	2														2										x		2
													−3																												−1
	=				1						ln				x − 3														−							1 ln											x −1												+C.
		4						3							x + 3																																x +1
																																				4
	Вычислите ∫																												dx															.
																								(x2 +2)2
	Решение:																																2 +x2 −x2
	∫								dx														1				∫
																		=																		(x2 +2)2																							dx =
ПП 16 №13				(x2 +2)2																			2																																															1		arctg								x					+								x						+C
		1			∫							dx															1		∫												x2dx																											4			2										2						4	(	x2					+2				)
	=																		−																																							=
		2									x	2	+2														2									(x					2														2
																																											+2)
	=				1						arctg									x							−				1					∫											x2dx														.
		2						2													2										2											(x2 +2)2
	Вычислим

12

∫

x2dx

= ∫

x xdx

=

(x2 +2)2

(x2 +2)2

xdx

dv =

2

u = x

2

(x

+

2)

=

=

1

1

du = dx

v =−

2

2 (x

+

2)

2

xdx

=x

v =

∫

t

+2,

=

=

2

2

dt =2xdx

(x +2)

так как

1

dt

1

1

∫

+C =−

==−

2

2

=

2

t

2t

2(x +2)

=−

x

+

1

∫

dx

=

2(x

2

+2)

2

x

2

+

2

=−

x

+

1

arctg

x

+C.

2(x2 +2)

2

2

2

Подставим полученный результат в исходный интеграл.

	∫			dx							=		1				arctg		x		−
		(		2				2
				x			)					2			2				2
					+2
		1							x								1						x
	−			−											+			arctg						+C =
		2						2			+2)						2 2						2
						2(x
=	1			arctg				x				+					x			+C.
	4 2								2					4(x2 +2)

13